Методические особенности изучения темы

20 Февраль 2014 →

Методические особенности изучения темы «Рациональные уравнения»

Сухие строки уравнений –

В них сила разума влилась.

В них объяснение явлений,

Вещей разгаданная связь.

Л.М. Фридман

Содержание

I Введение

1.1 Значение уравнений в школьном курсе математики

1.2 Обзор методической литературы по теме «Методика изучения рациональных уравнений в школьном курсе математики»

II Методические и технологические аспекты подготовки школьников к сдаче ЕГЭ по математике по теме «Рациональные уравнения»

2.1 Основные понятия, термины и преобразования рациональных уравнений

2.2 Методика изучения основных видов рациональных уравнений в курсе алгебры основной школы

2.3 Общие методы решения рациональных уравнений

III Основные типы учебных задач темы и приемы их решения

3.1 Задачи начального уровня

3.2 Задачи повышенного уровня

IV Характерные затруднения учащихся и пути их преодоления

V Заключение

I Введение

1.1 Значение уравнений в школьном курсе математики

Понятие уравнения является ведущим алгебраическим понятием. Эта линия развертывается в трех основных направлениях:

ПРИКЛАДНАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ

ТЕОРЕТИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ

НАПРАВЛЕННОСТЬ НА УСТАНОВЛЕНИЕ СВЯЗЕЙ С ОСТАЛЬНЫМ СОДЕРЖАНИЕМ курса математики:

- с числовой линией;

- с функциональной линией;

- с линией тождественных преобразований;

- с алгоритмической линией.

Этапы изучения уравнений в школьном курсе математики:

I этап (пропедевтический).

1-4 классы: Элементарные сведения о переменной и уравнении. Основной метод решения – нахождение неизвестного компонента действий [2+=5]. [Интуитивно-практический уровень]

5-6 классы: Определение понятия уравнения как равенства, содержащего неизвестное число/ переменную величину. Решение линейных уравнений. Составление уравнения для решения текстовых задач.

II этап (основной).

7 класс: - вводится четкое определение уравнения;

- теоретически обосновываются свойства уравнений;

- дедуктивное обоснование процесса решения уравнения;

- решение систем уравнений;

- использование графического метода решения.

8 класс:

- вводится определение неравенства;

- теоретически обосновываются свойства неравенств;

- решение систем линейных неравенств с одной переменной;

- квадратные уравнения и неравенства;

- рациональные уравнения и неравенства.

9 класс:

- целое уравнение и его корни;

- решение уравнений 3-й и 4-й степеней;

- уравнение с двумя переменными и его график (для неравенств* );

- системы уравнений второй степени с двумя неизвестными

III этап (завершающий).

10-11 классы:

- тригонометрические уравнения;

- простейшие тригонометрические неравенства;

- показательные уравнения, неравенства и их системы;

- логарифмические уравнения, неравенства и их системы;

- иррациональные уравнения, неравенства и их системы

1.2 Обзор методической литературы по теме «Методика изучения рациональных уравнений в школьном курсе математики»

II Методические и технологические аспекты подготовки школьников к сдаче ЕГЭ по математике по теме «Рациональные уравнения»

2.1 Основные понятия, термины и преобразования рациональных уравнений

Определение: Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением. Основные термины:

- переменная;

- неизвестное;

- уравнение;

- корень уравнения;

- что значит решить уравнение?

- система уравнений;

- решение системы уравнений;

- равносильность;

- логическое следование и др.

Основные преобразования:

1.Тождественные (скобки, подобные);

2.Согласованные преобразования обеих частей в результате применения арифметических действий (прибавление, умножение);

3.Преобразования, изменяющие логическую структуру: а) f(x)g(x)=0 f(x)=0 или g(x)=0; б) почленное сложение, умножение или деление уравнений; в) способ подстановки; г) введение новой переменной.

2.4 Общие методы решения рациональных уравнений

2.2 Методика изучения основных видов рациональных уравнений в курсе алгебры основной школы

Алгебраический метод (метод равносильных преобразований)

Два способа установления равносильности

1.Убедиться в совпадении множеств корней.

2.Применять преобразования, не нарушающие равносильность.

Методика работы по формированию понятия равносильности

-При помощи частных примеров выясняется, какие преобразования не изменяют корни уравнений;

-Отрабатывается понимание, что для решения уравнений можно пользоваться не только тождественными преобразованиями;

-Выясняется, в результате каких операций получается уравнение, равносильное данному.

Сущность метода:

1.Последовательный переход с помощью тождественных и равносильных преобразований от данного уравнения к более простым до тех пор, пока не получится одно или несколько простейших данного вида.

2.Решение простейших уравнений по известной формуле или алгоритму.

Равносильные преобразования уравнений и неравенств

1.Общие для всех видов:

•перенос слагаемых из одной части в другую;

•деление всех членов уравнения на одно и то же число;

•приведение уравнения к целому виду;

•смена знаков всех членов;

•замена уравнения f(x)g(x)=0 на совокупность f(x)=0 и g(x)=0;

•замена переменной. 2. Специальные:

•возведение обеих частей в степень с натуральным показателем;

•извлечение из обеих частей уравнения корня;

•логарифмирование и потенцирование;

•использование основных тригонометрических тождеств

Графический метод

Отыскание значений переменной х, соответствующей равным значениям функции f(x) и g(x) с помощью точки пересечения их графиков.

2.3 Общие методы решения рациональных уравнений

III Основные типы учебных задач темы и приемы их решения

Основными типами учебных задач в этой линии являются:

• «Решить уравнение»;

• «Решить текстовую задачу алгебраическим методом».

Основные приемы решения:

• алгебраическим методом;

• графическим методом;

• приемы решения частных видов уравнений;

• прием поиска решения и др.

Прием графического решения уравнений и неравенств

1.Если нужно, преобразуйте уравнение к виду f(x)=g(x), выбрав f(x) и g(x) наиболее простого вида; [f(x)>g(x)]

2.Постройте графики функций у=f(x) и у=g(x) в одной и той же системе координат;

3.Найдите абсциссы точек пересечения графиков; [наидите промежутки оси абсцисс, для которых график у=f(x) расположен выше графика функции у=g(x)]

4.Запишите ответ.

Прием поиска решения уравнения

1.Определите, по виду уравнения и прикидкой, каким методом решения можно воспользоваться – алгебраическим, графическим;

2.Вспомните известный прием использования этого метода и соотнесите его с данным уравнением;

3.Определите возможные затруднения при использовании одного метода решения;

4.Определите необходимость и возможность комбинации различных методов решения;

5.Составьте план решения в целом.

3.1 Задачи начального уровня

решим несколько примеров. Это один из самых простых типов уравнений, которые будут на  ЕГЭ по математике. Но небольшие особенности в выполнении этих заданий есть.

Для  решения достаточно провести безошибочно необходимые преобразования, и уметь решать квадратное уравнение. Напомню, что мы  можем:

1. Умножать и делить левую и правую части уравнения на одно и то же число или выражение.

2. Прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать одно и то же число (выражение).

По-другому эта операция звучит так: перенос слагаемых, из левой части в правую и наоборот, при этом знак слагаемого изменяется на противоположный.

3. Можем возводить в квадрат и извлекать квадратный корень из обеих частей.

 

Квадратное уравнение (общий вид):

Этапы изучения уравнений и их систем

И главное. Обязательно делайте проверку после того как найдёте корни. В некоторых примерах вы получите два корня и вам будет нужно выбрать один из них. Так вот – проверку делайте для обоих корней, а затем выбирайте указанный в условии корень. Только в этом случае ошибка будет практически исключена. Решим примеры:

Этапы изучения уравнений и их систем

Найдите корень уравнения:

Этапы изучения уравнений и их систем

Отметим, что х не равен пяти (обращает знаменатель в ноль). Умножим обе части уравнения на (х – 5):

Этапы изучения уравнений и их систем

Сделаем проверку:

Этапы изучения уравнений и их систем

 

Ответ:  –13

 

Этапы изучения уравнений и их систем

Найдите корень уравнения:Этапы изучения уравнений и их систем

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Сразу отметим, что х ≠ 18, так как при х = – 18 знаменатель обращается в ноль, а на ноль делить нельзя. Умножим обе части на (х+18):

Этапы изучения уравнений и их систем

Решаем квадратное уравнение:

Этапы изучения уравнений и их систем

Больший из них    – 4.

Сделаем проверку (проверяем оба корня):

Этапы изучения уравнений и их систем

Ответ: – 4

 

Этапы изучения уравнений и их систем

Решите уравнение:

Этапы изучения уравнений и их систем

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Умножим обе части на  (х2 + 7), получим:

Этапы изучения уравнений и их систем

Разложили как разность квадратов.

Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, значит

х – 2 = 0  или  х + 2 = 0

х1 = 2            х2 = – 2

Меньший из корней равен  –2.

Сделаем проверку:

Этапы изучения уравнений и их систем

Второй корень в данном случае можно не проверять.

Отмечу, что корни уравнения х2 = 4 можно было записать сразу. Но я намеренно сделал разложение, так как это будет математически более грамотно. Разумеется,  на самом ЕГЭ этого можно не делать.

Ответ: –2

 

Этапы изучения уравнений и их систем

Решите уравнение:

Этапы изучения уравнений и их систем

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Так как результат дроби равен 1, то можем записать, что числитель равен знаменателю:

Этапы изучения уравнений и их систем

Решаем квадратное уравнение:

Этапы изучения уравнений и их систем

Больший из корней равен   5.

Сделаем проверку (проверяем оба корня):

Этапы изучения уравнений и их систем

Ответ: 5

 

Этапы изучения уравнений и их систем

Решите уравнение:Этапы изучения уравнений и их систем

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Умножим обе части на (7х + 11)(6х + 1), получим:

Этапы изучения уравнений и их систем

Сокращаем подобные члены, получим     – х2 – 15х – 50 = 0

Умножаем обе части на  –1:

Этапы изучения уравнений и их систем

Больший из корней  равен    – 5.

Проверка (проверяем оба корня):



Страницы: 1 | 2 | Одной страницей


See also:
Учебный материал
Похожие записи
  • тест метрология 1
    ООП: 260902.65 - Конструирование швейных изделийДисциплина: Метрология, стандартизация и сертификацияГруппа: бкид-1 Дата...
  • тест Мен в МП пол 3 курс студ
    Раздел 1. Общие подходы к менеджменту. 1. Английское слово «менеджмент» употребляется, когда...
  • тест КП 3
    ТЕСТЫ ПО КОНСТИТУЦИОННОМУ ПРАВУ РФ РАЗДЕЛ 1. Основы теории конституционного права. Конституционное...

Комментарии закрыты.