TFKP

20 Февраль 2014 →

(1)Показательная функция, теорема сложения показателей. Тригонометрические функции sin(z) и cos(z), формулы Эйлера, теорема сложения для функций sin(z) и cos(z), нули функций sin(z) и cos(z). Гиперболические функции и их связь с тригонометрическими функциями.

Опр: Сумму степенного ряда , сходящуюся на всей плоскостити , обозначают через и называют показательной (экспаненциальной) ф-цией: (1)

Теорема сложения показателей (для экспоненциальной ф-ции):

Для имеем (2)

Док-тво:

По опр. произведение этих рядов , есть ряд

Отсюда и из теоремы о произведении рядов (произведение абсолютно сходящихся рядов явл. абсолютно сходящимся рядом, сумма которого равна произведению сумм перемножаемых рядов) доказываемое

Следствие:

,

Для :

(3)

(4)

Из (1), (3) и (4) формула Эйлера: (5)

(6)

(7)

Из (2) и (5) (8)

Поскольку при то ф-ция плоскости в нуль не обращается. Пользуясь ф-лой Эйлера, тригонометрическая запись комплексного числа

явл. периодической ф-цией с периодом :

Теорема о сложении ф-ций и :

Для имеем: ,

Следствие: 1) число есть период для и комплексной плоскости ( из теоремы о сложении ф-ций и при ); 2) ()

Утв: 1) нули ф-ции имеют вид , 2) нули ф-ции имеют вид

Док-тво: полагая находим

Аналогично находятся нули

Сравнивая с (6) и (7) получим:

(2)Производная функции комплексного переменного. Критерий существования производной. Формулы для производной.

Пусть в обл. задана однозначно ф-ция , точка

Опр: если конечный предел , то он называется производной от ф-ции в точке и обозначается ; сама ф-ция при этом называется дифференцируемой или моногенной в точке

, условие моногенности: (1) , где при

Отсюда следует, что приращение моногенно в точке и может быть представимо в виде (2) где A не зависит от , а при

Из (2) непрерывность моногенной в точке ф-ции

Представимость в виде , где A не зависит от , а при , является необходимым и достаточным условием моногенности ф-ции.

,

Теорема:

Для того чтобы ф-ция , опр. в некоторой обл. G, была моногенной в точке этой обл. необходимо и достаточно чтобы ф-ции и были дифференцируемы в этой точке (как ф-ции 2-х действительных переменных) и чтобы, кроме того в точке , выполнялись условия: , (3)

- формулы для производной (4)

Док-тво:

Необходимость:

Если моногенна в точке , то (5) где

Отделяя в (5) действ. и мнимую части получим: , Отсюда и из того, что 1) ф-ции и дифференцируемы в точке ; 2) (6)

Из (6) (3), т.к. из (6) (4)

Достаточность:

, где

,

(7)

Т.к. , то при Отсюда и из (7)

(3)Определение голоморфности функции в точке и на множестве.

Опр: ф-ция f называется голоморфной в точке , ести она моногенна в некоторой окрестности этой точки.

Говорят, что ф-ция f(z) голоморфна в точке , если ф-ция голоморфна в точке z=0.

Опр: ф-ция f называется голоморфной на множестве ( в частности, в области), если она голоморфна в каждой точке этого множества.

Исходя из опр, отметим, что голоморфная ф-ция в замыкании обл. G, означает, что ф-ция голоморфна в некоторой обл. .

Наряду с термином «голоморфная ф-ция» используют также термины «аналитическая ф-ция» и «регулярная ф-ция». Эти термины тождественны.

(4)Теорема о голоморфности суммы степенного ряда. Следствия.

Теорема: сумма степенного ряда в круге сходимости , является голоморфной ф-цией. При этом может быть получена путем почл. дифференцирования ряда:

Док-тво: известно, что радиус сходимости ряда (1) также равен R. Пусть какая-либо точка круга , возьмем , из абсолютной сходимости ряда (1) в круге (2)

При имеем:

Слагаемое , поэтому оно меньше

Слагаемое

Применяя теорему к сумме ряда , получаем, что также явл. голоморфной ф-цией в круге , причем

Следствие:

1) бесконечно дифф. в круге сходимости

2) каждый степенной ряд с положительным радиусом сходимости явл. рядом Тейлора для своей суммы ( , положив z=0, получим , )

3) пусть ряды имеют одну и ту же сумму , в окрестности тогда (это предложение выражает св-во единственности разложения в степенной ряд)

4) если сумма степенного ряда явл. четной ф-цией, то все коэффициенты с нечетными индексами равны нулю и наоборот

5) аналитичны всюду в плоскости , при этом имеем: , , , ,

(5)Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Понятие о конформном отображении.

Согласно определению производной функции комплексного переменного:

  

         

Рассмотрим на плоскости кривую , а также образ кривой на плоскости . Точке будет соответствовать точка . Если производную представить в виде , то аргумент производной

т.к. и, как следует из рисунка ;

таким образом, геометрический смысл аргумента производной состоит в том, что

равен разности углов касательных к кривой и ее образу в точках, связанных условием .

Рассматривая две кривых и , а также их образы и , легко показать, что

т. е. углы между кривыми на комплексной плоскости и их образами в точке не изменяются в случае, если .

Такое свойство называется свойством сохранения углов.

Геометрический смысл модуля производной следует из соотношения:

которое означает, что является коэффициентом растяжения в точке при отображении с помощью функции .

Если , то в окрестности точки расстояния между точками увеличиваются, при - сжимаются, но так как значение по определению не зависит от направления, по которому , то в окрестности коэффициент растяжения является постоянным.

Опр: голоморфное отображение обл. на обл. при котором для каждой т. имеет место консерватизм углов и постоянство растяжений, называется конформным.

Теорема: отображение, осуществляемое голоморфной ф-цией , явл. конформным достаточно малой окрестности каждой точки z, в которой

(док-тво какое-то хуевое)

Теорема: если при отображении осуществл. однозначной ф-цией в каждой точке имеет место консерватизм углов и постоянство растяжения, то ф-ция голоморфна в обл. G, причем всюду в обл. G

6. Определение и общие свойства линейного и дробно-линейного отображения.

Линейная функция

Отображение будет конформным во всей плоскости

Функция

Соответствие, даваемое этой формулой, взаимнооднозначно во всех точках плоскости, причем в нулевой точке z=0 (W=0) соответствует бесконечно удаленная точка W=∞ (z=0)ПолагаяРассмотрим окружность Преобразовав (1) удобно разбить на 2 более простых

.При преобразовании (2) аргумент сохраняется, а модуль изменяется на обратный. Точка z, находящаяся внутри окрестности C, преобразуется в точку W , находящуюся вне окружности и лежащую на продолжении отрезка Oz,причем расстояние между 0, z и W равно 1.Такое отображение называется инверсией относительно окрестности C. Точки z и W при этом называются взаимно симметричными относительно окрестности C.Отображение (2) можно записать в виде: Преобразовав (3): Совокупность двух отображений дает голоморфное (z≠0) отображение Это отображение будет сохранять углы во всех плоскостях , включая z=0, z=∞При этом под углом двух линий при z=∞ понимают угол, образованныйотображениием линиями посредством функции в плоскости W при W=0.

Дробно-линейная функцияОбратно, z можно выразить через W: Таким образом, соответсвуют формулы (1) является взаимно однозначнымточка будет соответствовать W=∞, а точка - точка z=∞.Функция (1) сохраняет углы во всех точках расширенной плоскости

Теор: Образом прямой или окружности при отображении является прямая или окружность.

Док-во: Для линейной функции это свойство является очевидным.Расссмотрим отображение . Уравнение окружности имеет вид: .При A=0 уравнение (3) определяет прямую.Перепишем это уравнение в виде:, где AиC – действительные постоянные, При преобразовании получаем , или приведя к общему знаменателю, находим Уравнение (4) определяет окружность плоскости W (приC=0 оно предстанляет прямую)Поскольку преобразование представляет собой комбинацию преобразований, для которых круговое свойство выполняется, то теорема доказана.

7. Круговое свойство дробно-линейного отображения, свойство сохранения симметрии, инвариантность ангармонического отношения.

Дробно-линейное отображение Зависит от трех параметров, за которые могут принять, например, отношение чисел a, b, c, dк одному из них.Эти параметры однозначно определяется из требований, чтобы три заданных точки z1 , z2 , z3 плоскости переходит в заданные точкиW1 , W2 , W3 плоскости : Чтобы исключить a, b, c, d из этих уравнений и из уравнения образуем разности:

Отсюда получимТеор1: При невырожденном дробно-линейном отображении (1) с действительными коэффицентами верхняя полуплоскость ImZ>0 переходит в верхнюю полуплоскость ImW>0, если ad-bc>0 и нижнюю, если ad-bc<0

Опр:Выражение называется двойным. Равенство (2) означает инвариантность ангармонического отношения четырех точек при невырожденном дробно-линейном отображением

Теор2: (свойство сохранения симметрии) Если точки z1 ,z2симметричны относительно некоторой прямой или окружности при дробно-линейном отображенииих образы будут симметричны относительно образов γ:

8. Степенная функция W = Zn. Риманова поверхность функции Z= .

ФункцияW=Zn однозначна и непрерывана на всей плоскости . При n=1 она тождественно отображает на. При отображении W=Znкаждый луч переводит в луч и, следовательно, углы с вершиной в точке z=0 увеличиваются в n раз. Точки z1 ,z2, у которых модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π/nотображающ в одну точку, в силу чего Zn (n≥2) в неоднолистна.

Однако на каждом множестве, не содержащих равных по модулю точек, с равными по модулю 2π/n аргументами, функция Znоднолистна.

Примерами таких множеств служат углы В частности исключив из него луч , получив область , которая однолистно отображается функцией Zn на область В этой области однозначной является функция – ветви функции – обратной к функции W=Zn и называемой корнем n-ной степени.В области ∆ она является аналитической функцией, причемЗначение при принадлежат

Пусть и значение Переместим точку W от W0по окружности |W |=|W0|, описывая при этом полную окружность. Тогда ArgW непрерывно возрастет на 2π, а возрастет на 2π/n ⇒после обхода окрестности переходим к значению После n-кратного обхода окрестности в одном направлении получим , т.е. указанные ветви функции совпадают.

Рассмотрим n экземпляров области , которые обозначим ∆0,∆1, … , ∆n-1Наложим эти области одна на другую и склеим нижний край разреза листа ∆k (k=0,1,2,…,n-2)с верхним краем такого же разреза листа ∆k+1 Свободный верхний край разреза L0 листа ∆0 склеим с нижним краем разреза ∆n+1Если точка М – внутренняя для листа ∆k (∆k+1), то у нее существует ε окрестность, принадлежащяя тому же листу, если М лежит на линии склеивания ∆k с ∆k+1, то ε окрестность точки М составленная из части ее ε окрестности, принадлежащей ∆k и распространяющ на нижнюю полуплоскость, из части ε окрестности, принадлежащей ∆k+1 и рапространяющ в верхнюю полуплоскость, а также из εинтервалов, лежащих на L0 и симметрично относительно Мпостроенная n-листная область называется Римановой поверхностью функции

9. Экспоненциальная функция еz. Риманова поверхность функции Z = Ln(W)

Из равенства следует, что , так что областью однолистности является любая полоса шириной действительной оси. Разделим плоскость (z) на совокупность полос При отображении W=ez полосе соответствует вся плоскость ! с удаленной из нее точкой W=0. Открытая часть полосы , т.е. области отображ на где L0 – отрицательная и действительная оси, А прямые отображ на L0Из равенства Отсюда , следовательно все значения функции LnW, обратной к функции W=ezдля определяется по формуле:

В областьи∆ имеем счетное множество однозначных ветвей LnkWфункцииLnW, каждый из которых отображает ∆ на В точке W=1 ветвь LnkWпринимает значение ; оно может быть использовано для выделения среди всех других рассматриваемых полос. Пусть и фиксировано, а z0 – значение LnW, принадлежащее Переместим точку Wот точки W0по окрестности|W|=|W0| против часовой стрелелки до той же точки W0При этом ArgWвозрастает на и точке W0будет соответствовать точка иначе говоря, ветвь LnkWперейдет в ветвь с помощью многократного повторения можно перейти от заданной ветви LnkW к другой его ветви.

Рассмотри счетное множество областей которое обозначим …,-2,∆-1,∆0,∆1,∆2,… Будем считать их наложенными друг на друга в порядке возрастания номеров.Склеим верхний край разреза листа ∆k+1Бесконечнолистная поверхность получающаяся как результат указанных объединений листов ∆k называется Римановой поверхностью функции z=LnW

ФункцияW=ez голоморфно отображается на риманову поверхность функцию z=LnW . Точка W=0 при обходе которой совершается переход с одного лиса на другой называется трансцендентной точкой ветвления функции z=LnW

10. Интеграл от функции комплексного переменного вдоль кривой. Вычисление интеграла. Интеграл вдоль окружности от функции Zk, k ϵ Z. Свойства интеграла

Опр: число , () наз диаметром разбиения Т кривой Г.

Опр: пусть , . Сумма (1) наз-ся инт суммой кривой для фун-ции f на Г, соотв разбиению Т, выбору точек .

Опр: ф-ция f наз-ся интегрируемой по кривой Г, если облад след св-вом: , такое что пр любом разбиении Т крив Г с диаметром и при каждом выборе точек вып нер-во . Число I наз инт от ф-ции f вдоль(или по) кривой Г и обознач , а Г наз-ся путем интегрирования.

Зам:

Теор: Если ф-ция f непрер на спрямляемой крив Г, то ф-ция f инт на этой кривой.

Зам: пусть Г-гладкая кривая, (a

Св-ва инт:

1

2

3 если спрямляемая кривая Г состоит из m кусков , а ф-ция непрер на Г, то ин-л , причем предп, что инт по каждому из происходит в направлении, порождаемом напр интегр по Г.

В случае не пересекает спярм крив (m≥2) не образуют кривой, ф-лу будем считать справедливой по опр.

4 , где L- длина кривой Г

11. Интегральная теорема Коши для жордановой области и для составного контура.

Теор: если ф-ция f голоморфна в односвязной области и Г-любая спрямляемая замкнутая кривая, лежащая в , то

Док-во: все док-во основано на леммах 1 и 2

Лемма 1: пусть f-непрерывна в односвяз области и для любого треугольника, содерж в Г, ин-л вдоль границы этого тр-ка , тогда любой замкнутой спрямляемой кривой Г, содерж в ин-л

Док-во: основано на том, что любую фигуру(область), можно разбить на тр-ки

Лемма 2: ф-ция f голоморфна в односвязной области и -контур какого-либо , то

Док-во: любой тр-к можно разбить на последовательность тр-ков, , при достаточно большом к, М устремляется к 0.

Пусть Г- жорданова спрямляемая кривая - голоморфна внутри Г, а так же в каждой точке Г. Другими словами, пусть голоморфна в замкнутой области кривой Г, в этом случае имеем

Теор: Пусть граница Г области G состоит из n+1 замкнутых жордановых спрямляемых кривых таких, что каждая из прямых лежит вне остальных и все они располагаются в . Пусть при этом если точка движется, то точки области G остаются слева. Тогда если ф голоморфна в , то РИС

Док-во: соединим в циклическом порядке с помощью вспомогательных кривых ab,cd,ef.

Рассмотрим 2 замкнутые кривые ,

Функция является голоморфной как внутри, так и на каждой из этих кривых ,

,

Складывая эти 2 рав-ва получим (интегрируя по вспомогательным кривым ab,cd,ef соверш в 2 раза в противопол напр, поэтому уничтожаются)

Замеч: рав-во можно записать в виде , где интегрирование совершается в положительном направлении кривых

12. Обобщение интегральной теоремы Коши на случай, когда функция не является голоморфной на контуре интегрирования

Теор: Пусть G ограничена жордановой спрямляемой кривой Т и -ф-ции, голоморфной в G и непрерывной в , тогда

Док-во: проведем, при доп предп, что каждый луч выходит из точки , пересекая Г только в одной точке и что Г состоит из конечного числа гладких дуг. РИС

Пусть , –ур-ние крив Г, - по предположению имеет кусочно-непрер произв , пусть

Рассмотрим замкнутую кривую ,

По теор Коши: = , сл-но

Ф-ция f(z)-равномерно непрер в замкнутой области , поэтому , что при , имеем

Положим , , , , тогда при имеем ( , поэтому при указанном



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | ... | Следующая → | Последняя | Одной страницей


See also:
Для студента
Похожие записи

Комментарии закрыты.