Строительная механика. Часть 2

20 Февраль 2014 →

§6. Основные теоремы о линейно-деформируемых системах (ЛФС)

Линейно-деформируемыми системами будем называть такие соотношения, все элементы которых изготовлены из материалов, подчиняющихся закону Гука при заданном уровне внешних нагрузок (каково удлинение – такова сила). Закон Гука определяет физическую линейность стержневых систем.

В ЛФС напряжения и перемещения пропорциональны величине нагрузки.

Различают физическую и геометрическую линейность. Используется так же понятие о геометрической линейности. Если внутренние усилия в элементах рассчитываются по т.н. недеформируемой схеме, не учитывающей изменения размеров и формы сооружения, то говорят о геометрической линейности сооружения.

В сопротивлении материалов при статических расчетах используют принцип начальных размеров.

Большинство конструкций расчитывают на простое статическое нагружение. Статическое нагружение происходит во времени настолько медленно, что позволяет не учитывать силы инерции. При простом нагружении силы прикладываются:

а) поочередно;

б) одновременно, но пропорционально некоторому общему параметру.

При простом нагружении нагрузка недопустима, т.е. силы добавляются, но не снимаются.

Pi=αiP,

где αi – численный коэффициент, Р – параметр.

а) Р б) Р

P3

P1 P2

t

t

t

t

 - статическая нагрузка, - стационарная нагрузка;

Для простого нагружения справедливы принципы:

Окончательный результат действия системы сил не зависит от последовательности приложения сил – принцип произвольной очередности нагружения.

Результат действия какой-либо силы не зависит от наличия или отсутствия других сил – принцип независимости действия отдельных сил.

Результат действия системы сил равен сумме результатов действий каждой силы в отдельности – принцип наложения, или суперпозиции.

Основываясь на этих принципах, в расчетах можно рассматривать как отдельные силы, так и все силы вместе. Кроме того, несколько сил системы можно объединять в группы по какому-либо признаку.

Для упрощения теоретических выкладок при доказательстве теорем и выводе расчетных формул вводятся понятия об обобщенных силах и обобщенных перемещениях.

За обобщенную силу можно принять любую группу сил, если для нее можно указать соответствующее обобщенное перемещение. Обобщенным называется такое перемещение, на котором обобщенная сила совершает работу. Таким образом объединяющим понятием является работа. Рассмотрим два основных случая вычисления работы.

Сила постоянна: W=FS

F

S

Сила изменяется статически: W=FS

F

S

F

AF

SF

S1 A1

Силы, перемещения и работы делятся на два вида: действительные и возможные.

В результате действия внешних нагрузок (действительных сил) упругая конструкция напрягается и деформируется, в результате чего точки приложения сил получают действительные перемещения, на которых внешние силы совершают действительную работу. При расчетах можно представить некоторую воображаемую нагрузку (возможную силу), способную вызвать воображаемые перемещения точек, на которые не наложено связей. Такие перемещения будут возможными и на них силы могут совершать возможную работу.

Покажем примеры обобщенных сил и обобщенных перемещений.

Сосредоточенную силу Р можно принять за обобщенную силу, а прогиб под силой ν за обобщенное перемещение, т.к. W=

Р=0 P

Рmax νWPmax=P

ν

Пару сил с моментом М можно принять за обобщенную силу, а угол поворота сечения θ за обобщенное перемещение, т.к. W=Pθ

М=0

θ

Мmax

Интенсивность распределенной нагрузки q можно принять за обобщенную силу, а площадь эпюры прогибов ω за обобщенное перемещение, т.к. W=qω

q=0

ω qmax

Докажем несколько теорем о линейно-деформируемых системах.

Теорема Клапейрона о работе внешних нагрузок

Работа внешних нагрузок, статически прикладываемых к упругой конструкции, равна половине суммы произведений обобщенных сил на соответствующие обобщенные перемещения, возникающие от действия всех нагрузок одновременно.

WΣ=i,

где WΣ – суммарная работа всех внешних нагрузок,

Fi – обобщенная сила,

– обобщенное перемещение,

i, n - номер и число обобщенных сил.

1Σ=θ∆3Σ

Fi

F2= P∆1Σ=q F3=q

2Σ

F1=M

Вычислим перемещение по направлению i-ой обобщенной силы, вызванное действием всех обобщенных сил. Воспользуемся принципом суперпозиции:

=

Введем понятие о податливости упругой конструкции.

Податливость – это возможное перемещение по направлению i-i, вызванное действием возможной единичной обобщенной силы j=1, приложенной по направлению j-j.

ij

j=1

ij

ij

ij – податливость

i – направление перемещения

j – направление обобщенной силы

В причинно-следственной связи i – следствие, j – причина.

Преобразуем формулу для перемешения, учитывая физическую и геометрическую линейность.

=AiΣ= AiΣFi

AiΣ= - число или коэффициент пропорциональности между обобщенной силой Fi и обобщенным перемещением ∆.

Покажем параметрическую зависимость ∆(t) =

(t)

Ωi

,max=∆

0

Fi,max=Fi

Работа, совершаемая силой Fi на перемешении ∆, численно равна площади треугольника Ωi .

WΣ=.

Теорема Бетти о взаимности работ и теорема Максвелла о взаимности перемещений

Теорема Бетти

Работа сил первого состояния (I группа сил) на перемещениях по их направлению, вызванных силами второго состояния (II группа сил), равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлению, вызванных силами первого состояния:

W12=W21

Рассмотрим две последовательности нагружения упругой конструкции двумя обобщенными силами F1 и F2.

Первая последовательность: статически прикладываем I силу F1, статически прикладываем II силу F2 .

Вторая последовательность: прикладываем статически обе силы одновременно (F1,F2).

A F1B21A1 B F2

11 A1 B1 F F1

F1 A2 12 B2 A2 B2

11 – действительное перемещение по направлению I силы от действия этой же силы; ∆22 – то же для II направления, ∆12 – возможное перемещение по направлению I силы, вызванное действием второй силы, ∆21 – то же для II направления.

– перемещение по направлению I силы от действия двух сил одновременно, ∆2Σ – то же для II направления.

Вычислим суммарную работу для обеих последовательностей нагружения:

WΣI=

W11, W22, W12 – действительная работа;

WΣII=1Σ2Σ.

Согласно принципу произвольной очередности нарушения:

WΣI = WΣII или W11+W22+W12 = W11+W22+.

Теорема Максвелла

Перемещение по направлению I обобщенной силы, вызванное действием II обобщенной силы, равно перемещению по направлению II обобщенной силы от действия I обобщенной силы при условии, что симленные значения сил равны:

12=∆21

Согласно теореме Бетти:

W12=W21, или F112 = F221;

При F1 = F2 = F получаем F∆12 = F∆21; ∆12 = ∆21.

Покажем пример. Даны два направления действительных или возможных перемещений I-I и II-II и две равных численно обобщенных силы F1=P=10H; F2=M=10H*м

I II

I II

F1=P=10HI состояние конструкции

ΘF=∆21

ΘM=∆22II состояние конструкции

F2=M=10Hм

Вопрос: какие перемещения равны между собой численно?по горизонтали

по вертикали

по диагонали

Правильный ответ: , т.к. ∆12=∆21.

Прогиб под точкой приложения силы, вызванный моментом, равен углу поворота сечения под моментом, вызванный силой.

Теорема о потенциальной энергии внутренних сил упругости

Потенциальная энергия есть суммарная интегральная квадратичная функция внутренних усилий, возникающих во всех сечениях элементов сооружения при его нагружении.

Для пространственных конструкций она имеет следующее выражение:

1 слагаемое учитывает растяжение-сжатие;

2 и 3 слагаемые учитывают сдвиг;

4 и 5 слагаемые учитывают изгиб;

6 слагаемое учитывает кручение.

Для плоских стержневых систем:

Для плоских рам, стержни которых работают преимущественно на изгиб:

Докажем последнюю формулу. Выделим из стержня (балки), подверженного чистому изгибу, элемент бесконечно малой длины и рассмотрим схему его деформации, вызванной действием изгибающих моментов, переведенных в разряд внешних сил.

MM

dz

Примем оба момента М за обобщенную силу, а взаимный элементарный угол поворота смежных сечений за обобщенное перемещение. Тогда, согласно теореме Клапейрона, элементарная работа будет равна: .

Воспользуемся дифференциальным уравнением изогнутой оси балки:

Преобразуем его, учитывая что .

Подставляя в элементарную работу, получаем:

Интегрируя по всей длине стержня, находим:

Согласно закону сохранения энергии работа, совершаемая внешними силами, с небольшими потерями (порядка 0,01%) на нагрев и другие эффекты переходит в потенциальную энергию внутренних сил упругости. Эта энергия, накаливаясь в элементах сооружения, обеспечивает его равновесное состояние при воздействии нагрузок и возвращает в исходное состояние после снятия нагрузок. Произведем суммирование по всем m стержням сооружения и учтем, что U=W. Тогда получаем:

Мы видим, что изгибающий момент стоит под знаком интеграла во второй степени и, следовательно, потенциальная энергия внутренних сил упругости есть интегральная квадратичная функция внутреннего усилия. В силу этого к потенциальной энергии не применим принцип суперпозиции, т.е. если обозначать энергию, создаваемую при действии силы F1 через U1, создаваемую при действии силы F2 через U2, создаваемую при действии обеих сил через U, то , в общем случае UΣ.

Интеграл Мора для определения перемещений

Перемещение любой точки конструкции есть суммарная интегральная функция от произведения внутренних усилий, возникающих в сечениях в двух состояниях системы: действительном и возможном.

iPi=1

i

Для изгибаемых конструкций интеграл Мора имеет вид:

При доказательстве теоремы Бетти мы рассмотрели две последовательности нарущения упругой конструкции и получили:

при этом

Следовательно, можно записать равенство:

Выразим отсюда взаимную работу:

Работы, стоящие в правой части, заменим потенциальными энергиями внутренних усилий (моментов), учитывая, что M(F1,F2)=M(F1)+M(F2)=M1+M2.

Взаимная работа выражается через обобщенную силу и обобщенное перемещение.

Применим в качестве I обобщенной силы возможную (отсутствующую в реальном времени) единичную силу .

В качестве II обобщенной силы принимаем заданные внешние нагрузки . Следовательно, ∆12 – это действительное перемещение от внешних нагрузок по направлению возможной единичной силы:

Приравнивая правые части формул (*) и (**), получаем:

Эта формула носит название интеграла Мора для определения перемещений.

Здесь ∆iF – действительное перемещение i точки конструкции в направлении единичной обобщенной силы, вызванное внешней нагрузкой; и изгибающий момент, возникающий в сечении Z от действия единичной силы - изгибающий момент, возникающий в сечении Z от действия заданной внешней нагрузки .

Теорема Кастильяно о взаимности энергии и перемещений

Частная производная от потенциальной энергии по какой-либо внешней силе равна перемещению по направлению этой силы.

Пусть к упругой конструкции приложено n сосредоточенных сил Pi.

P1P2 Pi Pn

Изгибающий момент в произвольном сечении выразим на основе принципа суперпозиции:

где – изгибающий момент от действия единичной силы =1.

Найдем частную производную от изгибающего момента по силе Pi:

Потенциальная энергия деформации равна:

Возьмем частную производную от энергии по силе Pi:

Теорема Рэлея о взаимности реакций

Реакция в связи 1, возникающая при перемещении связи 2, равна реакции связи 2, возникающей при перемещении связи 1, при условии, что перемещения связей одинаковы.



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | ... | Следующая → | Последняя | Одной страницей


See also:
Для студента
Похожие записи

Комментарии закрыты.