Печатные шпоры по ВТА (1 поток) читать

20 Февраль 2014 →

1. Определение двойного интегр. и его основ. свойства. Теорема о среднем. Классы интегрир. функций двух переменных.

Пусть произвольная функция f(x,y) определена всюду на замкнутой квадрируемой области D. Т.е. D-фигура, ограниченная простой замкнутой кривой и эта фигура имеет площадь. Разобьем область D при помощи конечного числа спрямляемых кривых на n частичных областей Di. Площадь области Di обозначим через Di.

Свойства частичных областей Di :

1)Каждая точка области D будет принадлежать хотя бы одной из областей Di

2) Каждая из областей Di квадрируема(имеет площадь)

3)Примем, что области Di и Dj (ij) могут иметь общими только граничные точки.

Разбиение области D(T(Di)) будем называть правильным(допустимым).

В каждой области Di выберем точку pi(i,i) и составим интегральную сумму i=1nf(pi)*Di (1)

Определение 1. Диаметром области D называется точная верхняя грань расстояний межлу любыми 2-мя точками этой области i=diamDi0. =sup{i}.

Определение 2. Число I называют пределом интегральной суммы(1) при 0, если для любого 0, найдется ()0 такое что для любого и независимо от выбора точек pi в Di: |-I|. Если данный предел конечен, то функция интегрируема по Риману, а предел называется двойным интегралом в области D: I=DF(p)dD=Df(x,y)dxdy.

Свойства. 1. Аддитивность: Df(x,y)dxdy=D1f(x,y)dxdy+D2f(x,y)dxdy. D1,D2 - связные, но не имеющие общих точек по области D.

Линейные:

2. D[f(x,y)+g(x,y)]dxdy=Dfdxdy+Dgdxdy, если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в D, а и – любые вещественные числа.

3. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в D, то произведение f*g так же интегрируемо в этой области.

4. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в D и всюду f(x,y) g(x,y) , то Df(x,y)dxdyDg(x,y)dxdy.

5. Если f(x,y) интегрируема, то |f(x,y)| тоже интегрируема, причем |Df(x,y)dxdy|D|f(x,y)|dxdy. (обратное неверно)

6. Геометрическое: D1 dxdy =D , где D- площадь области D.

ii=1nf(pi)*Di =Di =D – формула нахождения площади плоскостей.

Теорема (о среднем). Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в D и g(x,y)0 (0) всюду в D, M и m – точные верхняя и нижняя грани f(x,y) в D, то найдется число : mM, что Df(x,y)*g(x,y)dxdy=Dg(x,y)dxdy.

Классы интегрируемых функций:

Теорема1: Всякая непрерывная в области D функция f(x,y) интегрируема в этой области.

Док-во: т.к. функция непрерывна в замкнутой обл., то по теореме Кантора она равномерно непрерывна в этой области. Тогда по определению: для любого 0, найдется 0: для любого T(); wi :i=1Di =D. Т.е выполняется достаточное условие интегрируемости.

Теорема2:Если функция f(x,y) ограничена в области D и имеет в этой области разрывы лишь в конечном числе спрямляемых кривых, то f интегрируема в этой области.РИС.

Док-во: следует из «множество точек разрыва имеет площадь=0»

2. Сведение двойного интеграла к повторному.

Теорема 1 (случай прямоугольной области). Пусть функция f(x,y) задана в прямоугольной области D=[a,b]*[c,d] и в этой области существует Df(x,y)dxdy. Пусть для каждого x из [a,b] существует одномерный интеграл I(x)=cdf(x,y)dy, тогда существует повторный интеграл abI(x)dx=abdxcdf(x,y)dy и справедливо равенство: Df(x,y)dxdy= abdxcdf(x,y)dy

Доказательство. Разобьем прямоугольник D с помощью точек: a=x0x1…xn=b, c=y0y1…yp=d на n*p частичных прямоугольников Dik=[xi-1,xi]*[yk-1,yk] положим x=xi-xi-1, y=yk-yk-1. Mik и mik – точные грани f(x,y) на этом прямоугольнике, тогда mikf(x,y)Mik. Пусть i[xi-1,xi]- произвольная точка, тогда mikf(i,y)Mik. Проинтегрируем его по y на [yk-1,yk]. mikyk yk-1ykf(i,y)dyMikyk. Просуммируем по всем k от 1 до p, умножим на xi и проссумируем по i от 1 до n. i=1nk=1p mikyk xi i=1nI(i)* xi i=1nk=1p Mikyk xi. Пусть наиб диаметр частичной области стремится к 0, тогда левые и правые части будут стремится к двойному интегралу Df(x,y)dxdy, значит существует предел и средней части неравенства, который равен такому же интегралу. По определению этот интеграл равен abI(x)dx=abdxcdf(x,y)dy=

ab(cdf(x,y)dy)dx.

Замечание: в теореме x и y можно менять местами.

Теорема 2 (случай произвольной области). Пусть выполнены условия: 1. Обл D – ограничена, замкнута и любая прямая, параллельная оси OY, пересекает границу области не более чем в 2-х точках (y1(x)y2(x)-точки пересечения). 2. Для f(x,y) существует Df(x,y)dxdy и для любого х из области D существует однократный интеграл y1(x)y2(x)f(x,y)dy. Тогда существует повторный интеграл abdxf1(x)f2(x)f(x,y)dy, где a и b- наименьшая и наибольшая абсциссы в области D. При этом справедливо:

Df(x,y)dxdy = abdxf1(x)f2(x)f(x,y)dy (1)

Доказательство. Обозначим через R прямоугольник со сторонами параллельными координатным осям, содержащий в себе область D, а через F(x,y) функцию, совпадающую с f(x,y) в точках обл D, и равную нулю в остальных точках прямоугольника R. Для F(x,y) выполняются все условия теоремы, значит справедлива формула: Rf(x,y)dxdy = abdxсdF(x,y)dy. Пусть [a,b] - проекция обл.D на ось OX.

т.к. вне обл.D F(x,y)=0, то формула переходит в формулу(1)

Замечание: Если область не удовлетворяет условиям теоремы, то данную область можно разделить на подобласти, где условия выполняются.

3. Тройной интеграл, сведение его к повторному.

Пусть функция f(x,y,z) определена всюду в замкнутой кубируемой области V. Разобьем область V на конечное число R замкнутых частичных областей Vi. Каждая из этих областей Vi будет кубируема. Обозначим обьем этой области через Vi. Полученное разбиение обозначим через T(Vi). Свойства T(Vi): каждая точка области V будет принадлежать хотябы одной из областей Vi, включая границы, все области Vi будут кубируемы (иметь обьем) и любая из областей Vi и Vj (ij) могут иметь общими только граничные точки. В каждой частичной области Vi выберем точку pi = (xi,yi,zi).

Определение 1. Число i=1nf(pi)*Vi называют интегральной суммой функции f(x,y,z), соответствующей разбиению T(Vi) области V на частичные подобласти Vi и данному выбору промежуточных точек pi.

Определение 2. Число I называют пределом интегральных сумм при 0, если для любого 0, найдется 0 такое что для любого и независимо от выбора точек pi в Vi: |- I |.

Определение 3. Функция f(x,y,z) называется интегрируемой по Риману в V, если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при 0. Этот предел I называют тройным интегралом в области V: I=vf(p)dV=vf(x,y,z)dxdydz.

Классы интегрируемых функций.

1.Всякая непрерывная в замкнутой области V функция f(x,y,z) интегрируема в этой области.

2.Если функция f(x,y,z) ограничена в области V и имеет в

3. этой области разрывы лишь в конечном числе поверхности объёма=0, то функция интегрируема в этой области.

Вычисление тройного интеграла. Пусть V проектируется на плоскость XY в область D. vf(x,y,z)dxdydz=ehdzDf(x,y,z)dxdy=ehdzabdxcdf(x,y,z)dy. Пусть f (x,y,z) непрерывна в V и пусть поверхностьть S, ограничивающая V пересекается не более чем в 2-х точках любой прямой, параллельной одной из координатных осей vf(x,y,z)dxdydz= abdx1(x)2(x)dy1(x,y)2(x,y)f(x,y,z)dz.(2) Здесь: 1. Тело V проектируется на плоскость XY в область D. 2. Линии касания поверхности S и цилиндр поверхности, которая проектирует тело V на XY, разбивает S на 2 части, которые опредяются функциями z1=1(x,y), z2=2(x,y). 3. Спроектируем кривую, ограничивающую D на плоскость XY. Точки a и b, в которых прямые, параллельные Y, разбивают область на 2 части y1=1(x), y2=2(x). a и b - пределы интегрирования по x. Далее доказательство формулы (2) аналогично двойному интегралу.(вопрос 2 теор2)РИС.

4. Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.

Пусть задано регулярное отображение переменных (U,V)->(x,y), задающееся системой уравнений {x=x(U,V); y=y(U,V)} (1) и пусть это отображение переводит некоторую замкнутую область G с кусочно-гладким контуром L’ в область D с кусочно-гладким контуром L. Задание пары значений (U,V)G однозначно определяют некую точку (x,y)D и обратно. Таким образом числа U,V можно рассматривать как координаты точек области D. Таким

образом система уравнений (1) вводит на плоскости (x,y) новые (криволинейные) координаты.

Теорема. Если отображение {x=x(U,V); y=y(U,V) переводит замкнутую область G в замкнутую область D, то если существует Df(x,y)dxdy, то имеет место формула Df(x,y)dxdy=G[f(x(U,V), y(U,V))*|D(x,y)/D(U,V)|]dUdV.

Доказательство. Разобьем фигуру G на n частичных областей Gi. В каждой области Di фигуры D выберем точку Pi(xi,yi). Составим интегральную сумму n= i=1n [f(xi,yi)]Di= i=1n f(Pi)Di. Пусть Qi=(Ui,Vi) есть образ точки Pi при обратном преобразовании {U=U(x,y); V=V(x,y).

4. Зfgbitv n=i[f(xi(U,V),yi(U,V))]DiGi/Gi При этом для =[U2+V2]1/2 –диаметр области Gi ,при 0 будет выполняться |Di/Gi -|I(Ui,Vi)||< (2). При этом найдется такое разбиение Т(Di), что будет выполняться это равенство. Раскрывая (2) представим Di/Gi =|I(Ui,Vi)| + i, где0< i< . Тогда n=i[f(xi(U,V),yi(U,V))]|I(Ui,Vi)|Gi+ i[f(xi(U,V),yi(U,V))]iGi=1+2. Оценим 2: т.к. f ограничена на D, т.е. M |f|2|iDi= MD. Lim|2|->0 при ->0. Ввиду непрерывности функции (1) max{diam(Di)}->0. Отсюда следует, что limi=1n [f(xi,yi)]Di= limi=1n[f(xi(U,V),yi(U,V))]|J(Ui,Vi)|Gi< . РИС.

Полярные координаты. Задаются полярным радиусом r, выходящим из начала координат в точку M(x,y) и имеющим с осью x угол . Таким образом на плоскости (x,y) регулярное отображение: {x=rcos;y=rsin и обратное ему {r=[x2+y2]1/2; =arctg(y/x). Якобиан отображения J(r,)=D(x,y)/D(r,)=|x/r, x/; y/r, y/|=|cos, -rsin; sin, rcos|=r.

5. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры: случай цилиндрических и сферических координат.

Пусть задано регулярное отображение переменных (U,V,W)->(x,y,z), задающееся системой уравнений {x=x(U,V,W); y=y(U,V,W); z=z(U,V,W)} (1) и пусть это отображение переводит некоторую замкнутую пространственную замкнутую область G в замкнутую область D. Регулярное отображение является взаимообратным: {U=U(x,y,z); V=V(x,y,z); W=W(x,y,z)}(2), [D(U,V,W)/D(x,y,z)]*[D(x,y,z)/D(U,V,W)] =1. Задание пары значений (U,V,W)G однозначно определяют некую точку (x,y,z)D и обратно. Таким образом числа U,V,W можно рассматривать как координаты точек области D. Таким образом система уравнений (1) вводит на плоскости (x,y) новые (криволинейные) координаты.

Теорема. Если отображение {x=x(U,V,W); y=y(U,V,W); z=z(U,V,W) переводит замкнутую область G в замкнутую область D, то если существует Df(x,y,z)dxdydz, то имеет место формула Df(x,y,z)dxdydz=G[f(x(U,V,W), y(U,V,W), z(U,V,W))*|D(x,y,z)/D(U,V,W)|]dUdVdW.

D= G|д(x,y,z)/д(U,V,W)| dUdVdW

Доказательство. Доказательство аналогично двойному интегралу.(4 билет)

5. Цилиндрические координаты. Задаются радиус-вектором r, выходящим из начала координат плоскости (x,y) в проекцию M(x,y) точки M(x,y,z), имеющим с осью x угол и координатой z. Таким образом в пространстве (x,y,z) задается регулярное отображение: {x=rcos;y=rsin; z=z} и обратное ему {r=[x2+y2]1/2; =arctg(y/x); z=z}. Якобиан отображения J(r,,z)=D(x,y,z)/D(r,,z)=|xr’,x’,xz’; yr’,y’,yz’; zr’,z’,zz’|=|cos, -rsin, 0; sin, rcos,0; 0,0,1|=r.

Сферические координаты. Задаются радиус-вектором r, выходящим из начала координат в точку M(x,y,z), причем в плоскости (x,y) проекция радиус-вектора указывает проекцию M(x,y) точки M(x,y,z), а z-ая координата задается тем же радиусом, отстающим от оси z на угол . Таким образом в пространстве (x,y,z) задается регулярное отображение: {x=rcossin; y=rsinsin; z=zcos} и обратное ему {r=[x2+y2+z2]1/2; =arctg(y/x); =arctg([x2+y2]1/2/z). Пределы изменения углов: 0, , +>r0. Якобиан отображения J(,,r)=D(x,y,z)/D(,,r)=|x’,x’,xr’;Сферические y’,y’,yr’; z’,z’,zr’|=

|-rsinsin, rcoscos, sinsin; rsincos, rcossin, sinsin; 0, -rsin, cos|= -r2sin.

6. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.

Пусть z=f(x,y) - гладкая поверхность, задаваемая функцией S класса С1. Пусть Mi=(xi,yi,zi), zi=f(xi,yi) - точки поверхности. Уравнение нормали к поверхности в этой точке: (x-xi)/fx'(xi,yi)=(y-yi)/fy'(xi,yi)=(z-zi)/(-1). Направляющий косинус нормали cosi=1/[1+(fx'(xi,yi))2+(fy'(xi,yi))2]1/2. ( i-острый угол) Пусть область D-проекция S на плоскость ОXY. Площадь поверхности S называется число S, получаемое как: 1)Область D разобьем правильным разбиением на n частичных областей Di. В каждой области Di выберем произвольно точку Di(xi,yi) 2)В этой точке восстанавливаем перпендикуляр к ОXY и получаем точку Mi=(xi,yi,f(xi,yi))3)Проведем касательную плоскость к поверхности в точке Mi. Через Si обозначим площадь куска касательной плоскости, вырезаемой цилиндром с основанием Di и с образующей, параллельной оси OZ: Si=Di/cosi. 4)Составим интегральную сумму =i=1nSi= i=1n[Di/cosi]= i=1n[1+(fx'(xi,yi))2+(fy'(xi,yi))2]1/2Di. – интегральная сумма для функции

[1+(fx'(xi,yi))2+(fy'(xi,yi))2]1/2 . 5)пусть характеристика D->0(->0) тогда

S=lim i=1n[1+(fx'(xi,yi))2+(fy'(xi,yi))2]1/2Di. fx',fy' непрерывны в D=>[1+(fx'(xi,yi))2+(fy'(xi,yi))2]1/2 непрерывна в D.

S =D[1+(fx'(x,y))2+(fy'(x,y))2]1/2 dxdy; S =D[1+(∂z/∂x)2+(∂z/∂y)2]1/2 dxdy; zi=f(xi,yi)

7. Определение криволинейного интеграла первого рода, его свойства и вычисление.

Пусть на плоскости Ox,y параметрически задана простая незамкнутая спрямляемая кривая кривая L, ограниченная точками A и B и некоторая функция f(x,y), которая определена и непрерывна на множестве L. Параметрическое уравнение кривой: L:{x=(t); y=(t); a012< ...n-1n=b на отрезки [tk-1,tk] Каждому значению tk соответстсвует точка Mk(xk,yk), где xk=(tk) и yk=(tk). В этом случае разбиению отрезка [a,b] соответствует разбиение кривой L на частичные дуги Mk-1Mk. Выберем на каждой частичной дуге произвольную точку Nk=(k,k); k[tk-1,tk], k=(k) и k=(k). Пусть lk – длина дуги Mk-1Mk. Составим интегральную сумму =k=1n f(k,k)lk (1).

Определение 1. Число J называется пределом интегральной суммы (1) при ->0, где =max{lk}, если такое, что при и независимо от выбора точек Nk(k,k) выполняется неравенство |-J|< .

Определение 2. Если при ->0 конечный предел J интегральных сумм (1), то этот предел называется криволинейным интегралом 1 рода от функции f(x,y) по кривой L обозначение: Lf(x,y)dl.

определение 3. Кривая L:{x=(t); y=(t); a С1 [a,b], т.е. имеют непрерывные производные.

Определение 4. Точка ML назыв. особой, если она соответствует значению параметра t: {’(t)=0; ’(t)=0;

Теорема. Если кривая L=AB -гладкая и не содержит особых точек, а функция f(x,y) непрерывна на множестве точек кривой L, то Lf(x,y)dl= abf((t),(t))[(’(t))2+(’(t))2]1/2dt (2).

Доказательство. Определенный интеграл в правой части (2) существует, т.к. подынтегральная функция непрерывна. Разобьем отрезок [a,b] на n частичных отрезков и составим интегральную сумму =k=1n f(k,k)lk, где lk=tk-1tk[(’(t))2+(’(t))2]1/2dt. Соответственно и интегральная сумма запишется как =k=1n{[f((k), (k))]*tk-1tk[(’(t))2+(’(t))2]1/2dt}, k[tk-1,tk]. Интеграл в правой части можно записать в виде J= k=1n{tk-1tkf((t),(t))[(’(t))2+(’(t))2]1/2dt}. Оценим разность -J. Т.к. функции и непрерывны на [a,b], а f(x,y) непрерывна на L, то по теореме о непрерывности сложной функции, функция f((t),(t)) будет непрерывна на [a,b]. Пусть =max{lk}->0, тогда max{[tk-1,tk]}->0/ т.о. такое, что при -> разность функций [f((k), (k))-f((t), (t))]< из-за непрерыности. Отсюда при получаем |-J|<* k=1n{tk-1tk[(’(t))2+(’(t))2]1/2dt}=*ab[(’(t))2+(’(t))2]1/2dt=l, где l – длина L => при ->0 =>->J.

Свойства. Непсредственно доказываются следующие свойства:

L[f(x,y)+g(x,y)]dl=Lf(x,y)dl+Lg(x,y)dl.

ABf(x,y)dl=ACf(x,y)dl+ CBf(x,y)dl, CL=AB.

L|f(x,y)|dl |Lf(x,y)dl|.

Если f(x,y) непрерывна на L, то для ML справедливо равенство Lf(x,y)dl=f(M) l

8. Определение криволинейного интеграла второго рода, его свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.

Пусть вдоль кусочно-гладкой и непрерывной кривой, заданной параметрически L: {x=(t); y=(t); a1=P(k,k)(xk-xk-1) 1=Q(k,k)(yk-yk-1).Пусть =max{lk} – характеристика разбиения L.

Определение 1. Число J1(J2) называется пределом интегральной сумм 1(2) при ->0, если такое, что при и независимо от выбора промежуточных точек Nk(k,k) выполняется неравенство |1-J1|< (|2-J2|< ).

Определение 2. Если этот предел существует, то он называется криволинейным интегралом 2 рода от функции P(x,y) (Q(x,y)) и обозначается как LP(x,y)dx (LQ(x,y)dy). Их сумма называется общим интегралом 2 рода и обозначается как L[P(x,y)dx +Q(x,y)dy].

Замечание1. Криволинейный интеграл 2 рода зависит от направления, поэтому ABP(x,y)dx= -BAP(x,y)dx. Интеграл можно рассматривать и в пространстве.

Замечание2. Для пространственной кривой вводится аналогично 3 криволинейных интеграла 2 рода и общий интеграл имеет вид: ABPdx+Qdy+Rdz

Теорема. Пусть праметрически заданная кривая L: {x=(t); y=(t); aLP(x,y)dx=ab [P((t), (t))*’(t)]dt ; LQ(x,y)dy=ab [Q((t), (t))* ’(t)]dt (2).

Доказательство. заметим, что xk=tk-1tk’(t)dt. 1=k=1n{[P((k), (k))]*tk-1tk’(t)dt, k[tk-1,tk]; J1= ab [P((t), (t))*’(t)]dt = k=1n{tk-1tk [P((t),(t))*’(t)]dt}. |1-J1|=|k=1n{tk-1tk {[P((k), (k))- P((t),(t))}* ’(t)dt|< * k=1n{tk-1tk|’(t)|dt}=*M k=1n{tk-1tkdt}=* k=1n{tk-1tk|’(t)|dt}=*ab’(t)dt=*M(a-b)

B силу произвольности >0 при ->0 1->J1. док-во 2->J2 аналогично.

Свойства. Криволинейного интеграла 2 рода аналогичны свойствам криволинейного интеграла 1 рода.

1.L[f(x,y)+g(x,y)]dl=Lf(x,y)dl+Lg(x,y)dl.

2.ABf(x,y)dl=ACf(x,y)dl+ CBf(x,y)dl, CL=AB.

3.L|f(x,y)|dl |Lf(x,y)dl|.

4.Если f(x,y) непрерывна на L, то для ML справедливо равенство Lf(x,y)dl=f(M)*l

Связь между криволинейным интегралом 1 и 2 рода. Пусть на кривой L взята некоторая точка M. Из точки M проведем касательную к кривой L, которая создаст углы и между касательной и осями координат ОХ и ОY. Тогда dx=cosdl, dy=cosdl (dl-дифференциал дуги в точке М) и L[Pdx +Qdy] = L[Pсosdl +Qcosdl]= LF(x,y)dl. для пространственной кривой: L[Pdx +Qdy+Rdz] = L[Pсosdl +Qcosdl +Rcosɣdl] (сos;cos;cosɣ-направляющие косинусы кривой L

9. Формула Грина.

L- замкнутая крива АВ, точки A и Bсовпадают.

Введем понятие ориентированной кривой.

Определение 1. Пусть простая замкнутая кривая L является границей плоской области G. Если при обходе кривой (при возрастании параметра t) область G остается слева (обход совершается против часовой стрелки), то такая ориентация кривой называется положительной (в противном случае - отрицательной).

Определение 2. Криволинейной трапецией называется область D, ограниченная двумя отрезками, параллельными оси x и y и двумя простыми кусочно-гладкими кривыми, взаимно не пересекающимися.

Теорема (формула Грина). Пусть 1) G-плоская область, ограниченная простым кусочно-гладким контуром L. 2) Эту область можно разбить на конечное число криволинейных трапеций. 3) В замкнутой области G заданы непрерывные функции P(x,y) и Q(x,y). Тогда справедлива формула: L+[Pdx +Qdy] =G[(Q/x)-(P/y)]dxdy (1).

Доказательство (частный случай). Пусть G-криволинейная трапеция, относительно оси x и y, ограниченная кривой L1: {x=a; x=b; y=1(x); y=2(x) или кривой L2: {y=c; y=d; x=1(x); x=2(x) (данные

представления равнозначны). Вычислим двойной интеграл: G(P/y)dxdy= abdx1(x)2(x)(P/y)dy. По формуле Ньютона-Лейбница: 1(x)2(x)(P/y)dy=P(x,y)y=1(x)|y=2(x)=P(x,2(x))-P(x,1(x)). Теперь окончательное выражение для интеграла запишется как: G(P/y)dxdy=abP(x,2(x))dx - abP(x,1(x))dx. Замечая, что abP(x,2(x))dx=M7M6M5M4P(x,y)dx и abP(x,1(x))dx=M8M1M2M3P(x,y)dx, а так же то, что M8M7P(x,y)dx=0 и M3M4P(x,y)dx=0 приходим к выводу, что G(P/y)dxdy= -M8M1M2M3Pdx - M3M4Pdx - M4M5M6M7Pdx - M7M8Pdx= - L+Pdx (2). Аналогичным образом доказывается, что G(Q/x)dxdy = L+Qdy (3). Вычитая (2) из (3) получим искомое выражение (1).

Доказательство (общий случай). Докажем теорму для общего случая. Пусть область G разбита на подобласти кусочно гладкой кривой и подобласти G1 и G2 ориентированы одинаково относительно кривой L. В этом случае LPdx= L1Pdx+ L2Pdx. Пусть G-область общего вида. Разобьем ее на области общего вида (криволинейные трапеции). Для этих областей Gi[(Q/x)-(P/y)]dxdy=Li+[Pdx +Qdy]. Сосчитав все интегралы, а так же пользуясь его аддитивностью получим, что G[(Q/x)-(P/y)]dxdy= iGi[(Q/x)-(P/y)]dxdy= L+[Pdx +Qdy].

10. Условие того, что дифференциальная форма от двух переменных является полным дифференциалом, и криволинейный интеграл на плоскости не зависит от пути интегрирования.

Определение. N-связной областью называется связная область, ограниченная N контурами.

Теорема. Пусть P(x,y) и Q(x,y) непрерывны и определены в ограниченной односвязной замкнутой области D. Тогда имеют место следующие утвеждения: 1) L()[Pdx +Qdy]=0. 2) L[Pdx +Qdy] не зависит от пути интегрирования. 3) Pdx +Qdy - полный дифференциал некой однозначной функции U: dU= Pdx +Qdy. 4) В области D: Q/x=P/y.

Доказательство. Будем проводить по схеме 1=>2=>3=>4=>1. 1) 1=>2. Если L[Pdx +Qdy]=0, то L[Pdx +Qdy] не зависит от пути интегрирования. Рассмотрим замкнутую область ACBH. ACBH[Pdx +Qdy]=0; ACBHA[Pdx +Qdy]=ACB[Pdx +Qdy]+ BHA[Pdx +Qdy]=ACB[Pdx +Qdy] - AHB[Pdx +Qdy]=0 => ACB[Pdx +Qdy]= AHB[Pdx +Qdy]. 2) 2=>3. Пусть L[Pdx +Qdy] не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что Pdx +Qdy=dU. Зафиксируем точку А, а точку B сделаем произвольной. AB[Pdx +Qdy]=U(B)=U(x,y). U/x=P, U/y=Q вычислим U/x=lim[(U(x+x,y)-

U(x,y))/x]=lim(U/x) при x->0 есть интеграл от выражения Pdx +Qdy взятый по пути, соединяющем точки B(x,y) и B1(x+x,y).

Т.к. по условию этот интеграл не зависит от кривой, то это путь - отрезок прямой. U/x=(1/x)BB1[Pdx +Qdy]= (1/x)BB1Pdx+ (1/x)BB1Qdy=(1/x)BB1Pdx=(1/x)(x,y)(x+x,y)Pdx=(по теореме о среднем)=(1/x)P(x+x,y)x (0< <1). Таким образом U/x=lim[P(x+x,y)]=P(x,y) при x->0. Аналогично доказывается, что U/x=Q(x,y). 3) 3=>4. Из того, что Pdx +Qdy=dU следует, что U/y=Q и U/x=P. Поскольку P и Q непрерывные функции, то Q/x=2U/yx=P/y=2U/xy (теорема о смешанном произведении). 4) 4=>1. Пусть в области D выполнено условие Q/x=P/y и L-произвольный простой замкнутый контур.

По формуле Грина L()[Pdx +Qdy]=0=G[(Q/x)-(P/y)]dxdy.

Замечание 1.Если D не является односвязной областью, то последнее условие не выполняется.

Замечание 2. Если контур не является самопересекающейся кривой, то D можно разбить на 2 подобласти.

11. Определение поверхностного интеграла 1 рода, его свойства, вычисление.

Пусть имеется некоторая кусочно-гладкая квадрируемая поверхность S, ограниченная гладким контуром. Разобьем поверхность S с помощью сетки кусочно-гладких кривых на части Si. Обозначим площадь i-ой части через Si. В каждой части Si выберем точку Mi с составим интегральную сумму =i=1n f(Mi)Si (1). Пусть =max{diam(S)}.

Определение 1. Число J называется пределом интегральной суммы (1) при ->0, если такое, что при и независимо от выбора точек Mi выполняется неравенство |-J|< .

Определение 2. Если при ->0 существует (независимо от выбора точек Mi и разбиения поверхности S) конечный предел J интегральной суммы (1), то этот предел называется поверхностным интегралом 1 рода по поверхности S и обозначается как Sf(x,y,z)dS=Sf(M)dS.

Свойства. Непосредственно доказываются следующие свойства:

S [f(M)+g(M)]dS=Sf(M)dS+Sg(M)dS.

Sf(M)dS= S1f(M)dS + S2f(M)dS, S1+S2=S.

Если на поверхности S: mSf(M)dS

Если на поверхности S: f(M)Sf(M)dS < Sg(M)dS

S|f(M)|dS |Sf(M)dS|.

теорема о среднем:если f(x,y,z) непрерывна,то найдется (x~,y~,z~) Sf(x,y,z)dS=f(x~,y~,z~)*S.

Теорема. Пусть: 1) S-гладкая поверхность, ограниченная кусочно-гладким контуром. 2) f(x,y,z) непрерывная функция по поверхности S. 2) Существует интеграл Sf(x,y,z)dS. Тогда имеет место следующее равенство: Sf(x,y,z)dS= f(x(U,V),y(U,V),z(U,V))[EG-F2]1/2dUdV, где -область на плоскости переменных U и V, которой

соответсвуют точки поверхности S при заданных отображениях класса C1: {x=x(U,V); y=y(U,V); z=z(U,V), E=(x/U)2+(y/U)2+(z/U)2; G=(x/V)2+(y/V)2+(z/V)2; F=(xx/UV)2+(yy/UV)2+(zz/UV)2.

Доказательство. Пусть разбиению поверхности S на части Si соответствует разбиение области на части i. Пусть и ' - характеристики разбиения поверхности S и области соответсвенно. Тогда из-за непрерывности функции f, при ->0 ' так же стремится к нулю ('->0). Разложим S и на Si и i. В области Si выберем точку (xi,yi,zi), которой будет соответсвовать точка (Ui,Vi) в области : {xi=x(Ui,Vi); yi=y(Ui,Vi); zi=z(Ui,Vi). Составим интегральную сумму =i=1n f(xi,yi,zi)Si, где Si=[EG-F2]1/2dUdV - элемент площади поверхности S. Применим теорему о среднем [прим. далее в теореме "ср." обозначает усредненное значение и в лекциях обозначается соответствующей буквой с чертой наверху] Si=[EG-F2]1/2|(Uср.i,Vср.i) Gi, где (Uср.i,Vср.i)i, а [EG-F2]1/2 - непрерывная функция. Рассмотрим разность интегральной суммы *=i=1n f(x(Ui,Vi), y(Ui,Vi), z(Ui,Vi))[EG-F2]1/2|(Uср.i,Vср.i) *Gi и интегральной суммы : |-*|=| i=1n {f(…)([Eсp.Gcp.-Fср.2]1/2 - [EG-F2]1/2)Gi}|. Функция [EG-F2]1/2 непрерывна в замкнутой области , значит она непрерывна и в самой области. Тогда для найдется такое разбиение T() с характеристикой ', что |[Eсp.Gcp.-Fср.2]1/2 - [EG-F2]1/2|< . Т.к. f действует в непрерывной замкнутой области, то она ограничена в этой области. Отсюда получаем, что lim(-*)=0 при '->0 => ->*.

12. Определение поверхностного интеграла второго рода, его свойства, вычисление. Связь с интегралом первого рода.

Пусть S-гладкая, двусторонняя поверхность. В каждой точке поверхности можно указать единичный вектор нормали к поверхности n. Вектор-функция n(M), задающая нормаль в каждой точке, называется непрерывным полем нормали. Задать непрерывное поле нормали-значит задать ее поверхность. В любой точке поверхность определяется как вектор-функция координат: F(x,y,z)=P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k, где P,Q,R-непрерывные функции координат. Разобьем поверхность S с помощью сетки кусочно-гладких кривых на части Si, в каждой части которой выберем точку Mi. Пусть Fn(Mi) - проекция вектора F на n в точке Mi, тогда пользуясь определением скалярного произведения

Fn(Mi)=(F(Mi),n(Mi))=Pcos+Qcos+Rcos. Составим интегральную сумму =i=1n (F(Mi),n(Mi))Si (1).

Определение 1. Число J называется пределом интегральной суммы (1) при ->0, если такое, что при и независимо от выбора точек Mi выполняется неравенство |-J|< .

Определение 2. Если при ->0 существует (независимо от выбора точек Mi и разбиения поверхности S) конечный

предел J интегральной суммы (1), то этот предел называется поверхностным интегралом 2 рода по поверхности S и обозначается как S[Pdydz+Qdzdx+Rdxdy]=S[Pcos+Qcos+Rcos]dS= S(F,n)dS.

Свойства. Непосредственно доказываются следующие свойства:

Поверхностный интеграл 2-ого рода зависит от выбора стороны поверхности (значения косинусов меняют свой знак на противоположный) S+(F,n)dS= - S-(F,n)dS.

Понятие поверхностного интеграла распространяется также на кусочно-гладкую поверхностьФ.

Связь между поверхностыми интегралами 2-ого и 1-ого рода. После выбора стороны поверхностный интеграл 2-ого рода можно рассматривать как интеграл первого рода от функций f(M)cosZ(М), f(M)cosY(M), f(M)cosX(M), причем можно использовать формулу для вычисления поверхностного интеграла 1-ого рода: Фf(x,y,z)cosZdS=f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))[EG-F2]1/2dudv.

13. Теорема (формула) Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной формах.

Теорема. Пусть в замкнутой ограниченной области G заданы функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), непрерывные на G вместе ос своими частными производными 1 порядка. Тогда имеет место следущее тождество: G(P/x+Q/y+R/z)dxdydz=S(Pcos+Qcos+Rcos)dS или Gdivadxdydz=SadS, т.е интеграл по области от дивергенции векторного поля a=(P,Q,R) равен потоку этого поля через поверхность, ограничивающую данную область.

Доказательство. Пусть G-область в пространстве XYZ. Предположим, что на плоскости XY существует такая квадрируемая область Г, что граница области G состоит из двух поверхностей S1 и S2 задаваемых соответственно явными представлениями z=(x,y) и z=(x,y), где функции (x,y) и (x,y) неперрывны на замкнутой области Г. Рассмотрим, например, интеграл G(R/z)dxdydz. Пользуясь введенными обозначениями, представим его как G(R/z)dxdydz= Г[(x,y)(x,y)(R/z)dz]dxdy= Г[R(x,y, (x,y))-R(x,y, (x,y))]dxdy= S2[R(x,y,z)]dxdy+ S1[R(x,y,z)]dxdy= S2Rdxdy+ S1Rdxdy+ S0Rdxdy= SRdxdy.

Совершенно аналогично доказывается, что G(P/x)dxdydz= SPdydz и G(Q/y)dxdydz= SQdzdx. Складывая эти три тождества получим искомую формулу..

14. Теорема (формула) Стокса, ее запись в координатной и векторной формах.

Формула Стокса выражает связь между интегралами по поверхности и кривой, ограничивающей данную поверхность. Пусть S-ограниченная кусочно-гладкая поверхность с кусочно гладкой границей L.

Определение. Окрестностью поверхности S называется любое открытое множество V, содержащее эту поверхность.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности кусочно-гладкой поверхности заданы функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), непрерывные вместе со своими частными производными 1 порядка. Тогда имеет место следущее тождество: L()[Pdx+Qdy+Rdz]=S|cos, cos, cos; /x, /y, /z; P, Q, R|dS или Ladr=SrotadS, т.е. циркуляция векторного поля a=(P,Q,R) по контуру L равна потоку вихря этого поля через поверхность S, ограниченную контуром L. Обход контура соответствует выбранной поверхности.

Доказательство. Рассмотрим криволинейный интеграл LP(x,y,z)dx= L1P(x,y,z(x,y))dx (1), где L1-проэкция кривой L, ограничивающей поверхность, на плоскость XY. К правому интегралу в формуле (1) применим формулу Грина

(формула Грина: G[(Q/x)-(P/y)]dxdy=L+[Pdx +Qdy]; в нашем случае Q=0. P=P(x,y,z(x,y)): L1P(x,y,z(x,y))dx= - D(P(x,y,z(x,y)/y)]dxdy, P/y=P/y+(P/z)(z/y). Отсюда получаем, что L1P(x,y,z(x,y))dx= - D[P/y+(P/z)(z/y)]dxdy=- S[P/y+(P/z)(z/y)]cosdS=(c учетом того, что (z/y)cos= -cos) = - S[(P/y)cos-(P/z)cos]dS. Т.е. для функции P получим выражение: LPdx= S[(P/z)cos - (P/y)cos]dS. Аналогично путем проектирования поверхности на другие плоскости получим: LQdy= S[(Q/x)cos - (Q/z)cos]dS и LRdz= S[(R/y)cos - (R/x)cos]dS. Складывая три равенства получим S[(R/y-Q/z)cos + (P/z-R/x)cos + (Q/x-P/y)cos]dS откуда и получается искомая формула, записываемая в виде символического определителя.

Замечание. Неоднозначно проектируемую поверхность можно разбить на части, которые будут проектироваться однозначно.

15. Градиент скалярного поля и его свойства. Вычисление градиента в декартовых координатах.

Пусть D- область на плоскости или в пространстве. Говорят, что в D задано скалярное поле, если каждой точке области D ставится в соответствие некая функция U(M).

Определение 1. Градиентом скалярной функции u(M), определенной и дифф в некоторой области D, называется вектор gradu={u/x;u/y;u/z}. =(/x)i+(/y)j+(/z)k={/x;/y;/z}; gradu=u. Если есть функция u, то произв по направлению l={cos; cos;cos}, т.е. u/l=gradu*l=Прlgradu*|l|= Прlgradu

Определение 2. Градиентом скалярной функции u в точке M называется вектор, который характеризует наибольшую скорость изменения u в точке M.

Операции над скалярным полем. 1. Grad(u+v)=gradu+gradv. 2. Grad(u/v)=(vgradu-ugradv)/v2. 3. Grad(u*v)=vgradu+ ugradv. 4. Grad(c*u)=cgradu, c=const. 5. Gradf(u)=f '(u)*gradu, f-дифференцируемая функция.

Вычисление в декартовых координатах. Пусть u=u(g1,g2,g3). Вычислим компоненту градиента u в базисе (e1,e2,e3). По направлению e1: u=u(M1)-u(M)=u(M), de1=e1. (gradu)1=(gradu,e1)=limu/de1=limu/(H1*dy1)=/(H1*y1), {e10}… gradu=(1/H1)*(u/g1)*e1+(1/H2)*(u/g2)*e2+(1/H3)*(u/g3)*e3. H1-H3 – коэфф Ламэ, отвеч коорд g1, g2, g3.

16. Векторное поле градиента, потенциальные поля, условия потенциальности.

Говорят, что в области D задано векторное поле, если в MD ставится в соответствие по некоторому

закону вектор F(M).

F(M) = { Fx (x,y,z), Fy (x,y,z), Fz (x,y,z) }= Fx i + Fy j + Fz k

Определение 1. Векторное поле называется полем класса Cn, если его составляющие Fx, Fy, Fz Cn.

Пусть u(M) – дифференцируемое скалярное поле. Построив в каждой точке M этого поля вектор gradu, мы получим векторное поле скалярной величины u.

Определение 2. Векторное поле F(M) называется потенциальным, если его можно представить как градиент

некоторой скалярной функции u. То есть F=gradu. U(M) - потенциал поля.

Теорема. Для того, чтобы векторное поле AC1 было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы rotA=0.

Доказательство.

1. Необходимость: Пусть u(x,y,z) – потенциал векторного поля A. uC2. Т.к. A=gradu, то

Ax=u/x…Az=u/z. Найдём х-овую составляющую ротора:

(rotA)x=Az/y-Ay/z=2u/(zy)-2u/(yz)=0. Аналогично

(rotA)y=0, (rotA)z=0.

17. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция векторного поля, ее вычисление в декартовых координатах.

Пусть в области D задано некоторое непрерывное

векторное поле A(M)= Ax(x,y,z)i+Ay(x,y,z)j+Az(x,y,z)k.

Возьмем в этом векторном поле некоторую поверхность S и выберем ее определенную сторону.

Пусть n(M)={cos,cos,cos} – поле единичных векторов нормалей к поверхности, соответствующей выбранной стороне, тогда поверхностный интеграл 2-ого рода:

S(Axcos + Aycos + Azcos)dS или S(A,n)dS или SAndS

называется потоком вектора A через поверхность S в указанную сторону.

Пусть дано векторное поле A(M)={Ax;Ay;Az} класса C1, пусть в этом поле задана область V, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой поверхностью S. Пусть nвнешняя нормаль поверхности S, тогда по формуле Остроградского, если положить: P=Ax, Q=Ay, R=Az. Поток векторного поля A через поверхность S во вне можно преобразовать в тройной интеграл: SAndS= S[(Axcos+Aycos+Azcos]dS=v(Ax/x+Ay/y+Az/z)dxdydz.

Определение 1. Стоящая под знаком интеграла функция называется дивергенцией или расходимостью векторного поля A и обозначается:

divA=Ax/x+Ay/y+Az/z. Таким образом формула Остроградского в векторной форме выглядит так:

SAndS= v divAdV

Пусть А – векторное поле класса С1. Поставим в соответствие каждой пространственной области V, ограниченной кусочно-гладкой областью S, скалярную величину SAndS, т.е. Ф(V)(аддитивная функция)

SAndS=Ф(V)

Определение 2. Дивергенцией векторного поля A в точке MV называется производная функции Ф(V)= SAndS по обьему в этой точке, т.е. limSAndS/V, VM (ΔV0)

Дивергенция в декартовых координатах. Дивергенция некоторого векторного поля A в точке M определяется формулой divA=limSAndS/V, VM. Пусть V – обьем бесконечно малого параллелепипеда. Рассмотрим вектор A в базисе (e1, e2, e3); A= A1e1+A2e2+A3e3. Вычислим поток A через поверхность параллепипеда. Поток через грани: /q1(A1H2H3)dq1dq2dq3; /q2(A2H3H1)dq1dq2dq3; /q3(A3H1H2)dq1dq2dq3; поделим их сумму ( поток через параллелепипед) на V= H1H2H3 dq1dq2dq3, получим дивергенцию в криволинейных координатах divA=(1/(H1H2H3))*[( A1H2H3)/q1+(A2H3H1)/q2+(A3H1H2)/q3]

18. Циркуляция векторного поля и ротор векторного поля. Вычисление ротора в декартовых координатах.

Определение 1. Пусть L-кусочно-гладкая замкнутая кривая, заданная в области G. Криволинейный интеграл LAxdx+Aydy+Azdz называется

циркуляцией векторного поля A={Ax;Ay;Az} по кривой L и обозначается LArdl, где Ar-касательная составляющая A к

кривой L. LAdr, dr={dx;dy;dz}.

Пусть в области G некоторая поверхность S ограничена замкнутым контуром L, тогда по формуле Стокса, если P=Ax, Q=Ay, R=Az C1 , циркуляция векторного поля по контуру L может быть преобразована в поверхностный интеграл: LAdr=S|cos,cos,cos;/x,/y,/z;Ax,Ay,Az|dS=S[(Az/y-Ay/z)cos+(Ax/z-Az/x)cos+(Ay/x-Ax/y)cos]dS.

Правая часть – поток через поверхность S вектора: (Az/y-Ay/z)i+(Ax/z-Az/x)j+(Ay/x-Ax/y)k (1)

Вектор (1) называется ротором или вихрем векторного поля A и обозначается rotA: rotA=|i,j,k; /x,/y,/z;Ax,Ay,Az|; rotA=[,A]

Ротор в декартовых координатах. Нормальная составляющая ротора: (rotA)n = lim LArdl / S SM = lim L(Adr)dl/S

(rotA)1 = 1/H2H3 [ (A3H3)/ q2 - (A2H2)/ q3 ] и т.д.



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Следующая → | Последняя | Одной страницей


See also:
Для студента
Похожие записи

Комментарии закрыты.