matan_vse_k_ekzamenu_za_1_semestr

20 Февраль 2014 →

Комплексные числа (определение, примеры). Два вещественных числа x и y будем называть упорядоченной парой, если указано, какое из этих чисел является первым, какое вторым. Тогда комплексным числом z называется упорядоченная пара (x, y) вещественных чисел, первое из которых x называется действительной частью, а второе y – мнимой частью этого комплексного числа. Записывается комплексное число в виде выражения: z = x + iy. Символ i носит название мнимой единицы и определяется соотношением i2 = -1. Примеры: z = 1+3i; z = -4i; z = (2-i)45.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) назовём комплексное число z вида z = (x1+x2, y1+y2) или z = z1+z2 = (x1+x2)+i(y1+y2). Разностью двух комплексных чисел z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) называется такое комплексное число z, которое в сумме с z2 даёт z1 и записывается в виде z = (x1-x2, y1-y2) или z = z1-z2 = (x1-x2)+i(y1-y2). Произведением двух комплексных чисел z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) назовём комплексное число z вида z = (x1x2-y1y2, x1y2+x2y1) или z = (x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1). Частным двух комплексных чисел z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2), второе из которых не равно нулю, называется такое комплексное число z, которое при умножении на z2 даёт z1 и записывается в виде z = или z = = .

Комплексно-сопряженное число. Комплексное число = (x, –y) = x-iy принято называть сопряжённым по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x+iy.

Геометрическое представление комплексного числа. Геометрически комплексное число z = (x, y) представляется в виде точки M или радиус-вектора в плоскости, называемой комплексной плоскостью. В декартовой системе координат точка M и имеют координаты (x, y).

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Если наряду с декартовой системой координат ввести полярную, причём так, чтобы полюс находился в начале O декартовой системы, а полярная ось была направлена вдоль положительного направления оси Ox, то декартовы координаты (x, y) и полярные координаты (ρ, φ) любой точки M, как известно, связаны формулами ρ = ; x = ρ∙cos φ; y = ρ∙sin φ; tg φ = . Число z = (x, y) представляется в тригонометрической форме как z = x + iy = (ρ∙cos φ, ρ∙sin φ) = ρ(cos φ+isin φ), где число ρ называют модулем, а угол φ аргументом комплексного числа, причём вместо значения φ можно брать значение φ+2πn , где n = 0,±1, ±2, … Исходя из формулы Эйлера в показательной форме комплексное число представляется как z = ρ∙.

Формула Эйлера. Формула Эйлера представляется в виде выражения = cos φ+isin φ.

Возведение в степень и извлечение корней из комплексных чисел. Если перемножаются n равных комплексных чисел, т.е. если комплексное число возводится в степень n, то zn = (ρ∙cos φ, ρ∙sin φ)n = (ρ∙)n = ρn = . Извлечение корня степени n – обратная операция возведению в степень n, поэтому = = = = , где .

Числовые последовательности (определение, ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые). Будем ставить в соответствии числу n из натурального ряда 1,2,3,…,n,… некоторое вещественное число xn по заданному закону. Тогда множество x1,x2,x3,…,xn,… пронумерованных чисел называется числовой последовательностью. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу) числом M (числом m), если каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству . Число M (число m) называется верхней (нижней) гранью числовой последовательности. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон, если она ограничена сверху числом M, а снизу числом m,т.е. каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству . Последовательность, ограниченная со всех сторон, называется ограниченной последовательностью. Последовательность называется неограниченной, если для любого сколько угодно большого числа найдётся хотя бы один элемент последовательности, для которого выполняется неравенство . Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколько угодно большого найдётся номер N = N(A) такой, что при выполняется неравенство . Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколько угодно малого найдётся номер N = N(ε) такой, что при выполняется неравенство .

Арифметические действия с числовыми последовательностями. Рассмотрим две последовательности и . Суммой двух последовательностей и называется последовательность , элементы которой равны z1 = x1+y1, z2 = x2+y2,…,zn = xn+yn,… Разностью двух последовательностей и называется последовательность , элементы которой равны z1 = x1-y1, z2 = x2-y2,…,zn = xn-yn,… Произведением двух последовательностей и называется последовательность , элементы которой равны z1 = x1y1, z2 = x2y2,…,zn = xnyn,… Частным двух последовательностей и называется последовательность , элементы которой равны z1 = x1/y1, z2 = x2/y2,…,zn = xn/yn,…

Теорема 1: Сумма двух бесконечно малых последовательностей и есть бесконечно малая последовательность. Доказательство: Обозначим сумму последовательностей как , т.е. = . Т.к. является бесконечно малой последовательностью, то для любого найдётся номер N1 такой, что выполняется , при . Аналогично и для . Для любого найдётся номер N2 такой, что выполняется , при . Обозначим через N = max{N1;N2}. Оценим при . = + < ε1 + ε2 = = ε. < ε, ч.т.д.

Теорема 2: Разность двух бесконечно малых последовательностей и есть бесконечно малая последовательность. Доказательство: аналогично доказательству теоремы 1 с использованием свойства = + . Следствие: Любая алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малой последовательности есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3: Бесконечно малая последовательность является ограниченной. Доказательство: Рассмотрим последовательность . В соответствии с определением для любого найдётся номер N = N(ε) такой, что при выполняется неравенство . ; ;… Получается , , …, ε. Тогда max{, , …,, ε} = A, а для всех n выполняется , таким образом, получили, что ограничена, ч.т.д.

Теорема 4: Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность. Доказательство: Т.к. ограниченная последовательность, то должно выполняться . Для бесконечно малой последовательности для любого найдётся номер N, такой, что выполняется . Проведём оценку элементов произведения последовательностей · = < < ·A = ε, следовательно < ε при , а следовательно бесконечно малая, ч.т.д. Следствие: Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 5: Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу C, то C=0. Доказательство: По условию теоремы = C, где n = 1,2,3… Предположим, что C ≠ 0. Тогда величину > 0 можно принять за ε, т.е. выбрать ε = . По определению для этого ε должно найтись число N(ε) такое, что выполняется неравенство , а следовательно , что равносильно неверному неравенству 1 < , следовательно предположение неверно. Таким образом C = 0, ч.т.д.

Теорема 6: Пусть есть бесконечно большая последовательность, тогда начиная с некоторого номера N* определена последовательность , которая является бесконечно малой. Пусть бесконечно малая последовательность, все элементы которой отличны от нуля. Тогда последовательность есть бесконечно большая последовательность. Доказательство: Т.к. есть бесконечно большая последовательность, то в соответствии с определением для любого найдётся номер N* такой, что при N* выполняется неравенство . > 0, при N*. Следовательно определена последовательность . Выберем теперь . Возьмём . Поскольку бесконечно большая последовательность, то при . Оценим элементы последовательности при . = < = ε. Следовательно < ε при , а значит является бесконечно малой, ч.т.д.

Сходящаяся последовательность и её предел (два определения).

1) Последовательность называется сходящейся к числу a, если последовательность является бесконечно малой, т.е. = . Число a называется пределом последовательности .

2) Последовательность называется сходящейся к числу a, если для любого найдётся номер N = N(ε) такой, что при выполняется неравенство .

Теорема 7: Сходящаяся последовательность имеет единственный предел. Доказательство: Пусть сходящаяся последовательность. Предположим, что она имеет два предела a и b. Тогда справедливо, что ; и ba = = . Тогда в соответствии с теоремой 5 (если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу C, то C=0) получим, что ba = 0, а значит b = a, ч.т.д.

Теорема 8: Сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство: Пусть сходящаяся к a последовательность. Тогда справедливо равенство => ; = + < + A1 = A (т.к. - ограничена). Итак, < A, следовательно последовательность - ограничена, ч.т.д.

Теорема 9: Сумма двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей и . Доказательство: Т.к. и сходящиеся последовательности, то справедливы следующие равенства: + a = и + b = . Сложив данные равенства получим, что – (a + b) = = , таким образом, последовательность сходящаяся и её предел равен = + = a + b, ч.т.д.

Теорема 10: Разность двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей и . Теорема 11: Произведение двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и . Доказательство: Т.к. и сходящиеся последовательности, то справедливы следующие равенства: = a + и = b + . Перемножив данные равенства получим, что · = (a + ( b + ) = = ,т.е. , таким образом, последовательность сходящаяся и её предел равен = · = a · b, ч.т.д.

Лемма 1: Пусть сходящаяся последовательность, предел которой отличен от нуля. Тогда последовательность ограничена. Доказательство: Пусть сходится к числу b≠0, тогда ε = > 0. Для этого ε найдётся номер N(ε) такой, что = . Оценим величину и запишем тождество: b = => + < , при nN(ε) => > > 0; . Тогда можно образовать последовательность при n > N(ε). = < = > 0; < , таким образом, последовательность ограничена, ч.т.д.

Теорема 12: Частное двух сходящихся последовательностей и , при условии, что предел последовательности отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и . Доказательство: Пусть сходится к числу a, а последовательность к числу b.Надо доказать, что последовательность есть бесконечно малая последовательность. = = = = = , таким образом , т.е. последовательность сходится, ч.т.д.

Теорема 13. Пусть сходится к числу a, и пусть начиная с некоторого номера выполняется неравенство , тогда и для предельного значения a справедливо аналогичное неравенство . Доказательство: Докажем для случая . Для предела a могут быть справедливы неравенства . Предположим выполнение , тогда b > a => ba > 0. Выберем ε = ba. Для этого ε в силу сходимости найдётся номер N(ε) такой, что = ba => –(ba) < < ba; < ba => , но это противоречит условию теоремы . Значит наше предположение неверно, а верно , ч.т.д. Следствие 1: Пусть и есть сходящиеся последовательности и пусть начиная с некоторого номера выполняется неравенство . Тогда и для пределов этих последовательностей выполняется неравенство = . Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности принадлежат сегменту [c, d], то и предел a этой последовательности принадлежит [c, d].

Теорема 14 (О двух милиционерах): Пусть и сходящиеся последовательности и сходятся к одному и тому же пределу a. Пусть кроме того последовательность начиная с некоторого номера N* удовлетворяет неравенствам . Тогда Последовательность сходится и её пределом является число a. Доказательство: Из исходных неравенств составим следующие неравенства . Тогда при nN* выполняется . Выберем произвольное , тогда в силу сходимости последовательностей и должны выполняться неравенства при n и при n. Тогда при nN = max{N*,,} выполняется сразу три неравенства ; ; => , т.е. последовательность сходится и её пределом является число a, ч.т.д.

Монотонные последовательности (определение, примеры). Определение: последовательность {Xn} называется неубывающей (невозрастающей), если для любого номера, начиная с номера 2, каждый последующий элемент {Xn} не меньше (не больше) предыдущего, т.е. элементы последовательности подчиняются неравенствам: .Вместе неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными. Примеры: 1)Последовательность 1,1, - есть невозрастающая последовательность. 2)Последовательность 1,1,2,2….n,n – есть неубывающая последовательность. Если , то последовательность называется возрастающей. Если , то последовательность называется убывающей. Обе эти последовательности являются строго монотонными.

Ограниченные множества, точная верхняя и нижняя грани множества (1-ое и 2-ое определения). Определение: Число М называется верхней (нижней) гранью множества {X}, если каждый элемент этого множества удовлетворяет неравенству X. Определение: Наименьшая из верхних граней множества {x} называется точной верхней гранью, обозначается: =sup{x} — супремум.

Теорема 15: Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограниченна сверху (снизу), то она сходится. Доказательство: Пусть является неубывающая последовательность, тогда для любого ε найдётся число такое ,что выполняется неравенство: ε; ; Выберем номера n; ; при n является сходящейся. Теорема доказана.

Сходимость последовательности Исследуем сходимость последовательности {}, элемент Покажем, что эта последовательность Для доказательства возрастания последовательности надо сравнить . Распишем выражение для , используя формулу Бинома- Ньютона:+ ++; == 1+) + +…+; Xn+1 =2+)(1+…+; 1; последовательность {} возрастающая. Покажем, что {} является ограниченной сверху последовательностью. Используем следующее неравенства: ; Xn<2+ =1+. Таким образом последовательность {Xn} является возрастающей и ограниченной сверху. Следовательно по теореме (15) она является сходящейся.

Предельное значение функции, левое и правое предельные значения (определения). Рассмотрим функцию y=f(x), заданную на множестве {X}. Определение: Число b называется предельным значением функции y=f(x) в точке X=X0 ,если для любой сходящейся к X0 последовательности {Xn} значений аргумента, соответствующая последовательность {f(Xn)} значений функции сходится к b. Символическая запись: Определение: Число b называется предельным значением функции y=f(x) справа (слева) в точке X=X0, если для любой сходящейся к X0 последовательности {Xn} значений аргумента , элементы которой больше (меньше) X0, соответствующая последовательность {f(Xn)} значений функции сходится к b. ; .

Теорема 16. Пусть функция f(x) и g(x) определённая на одном и том же множестве {X}, имеют точки X=X0 предельное значение соответственно в токах b и c. Тогда функции f(x) имеют в точке X0 предельное значение соответственно b ,b*c,. Доказательство: Выберем произвольную последовательность аргументов {X} сходящуюся к X0. Тогда соответствующие последовательности {f(Xn)} и {g(Xn)} сходятся к b и c по свойствам сходящихся последовательностей последовательности {f(Xn)}, {f(Xn)*g(Xn)}, {} являются сходящимися к пределам соответственно: (b),b*c, . Теорема доказана.

Бескрнечно малые и бесконечно большие функции (определение). Часто сравнивают бесконечно малые функции со стандартными, например, с функцией . Тогда, если , то считается что бесконечно малая функция имеет в точке x0 m-тый порядок малости. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке x=x0 справа (слева), если для любой сходящейся к X0 последовательности {Xn}, все элементы которой больше (меньше) X0, соответствующая последовательность {f(Xn)} значение функции является бесконечно большой последовательностью определённого знака. Символическая запись:

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Правило сравнения бесконечно больших функций сходны с правилом сравнения бесконечно малых функций. Пусть функции A(x) u B(x) являются бесконечно большими (положительного знака) в точке X0 справа, тогда: 1)Функция A(x) считается бесконечно большой в точке X0 справа большего порядка роста, чем B(x), если выполняется: ; 2)Функция A(x) считается бесконечно большой в точке X0 справа одинакового порядка роста с B(x),если выполняется: (c - константа) Пример: Сравнить бесконечно большие в точке X0=0 справа функции: A(x); B(x)=; =1 A(x), B(x) – одинакового порядка роста.

Лемма 2: Пусть в некоторой - окрестности точки X0 заданы функции f(x),g(x),h(x). Пусть кроме того функции f(x) и g(x) имеют в точке X0 одинаковое предельное значение, равное b, тогда если в указанной окрестности выполняется неравенство: f(x), то предельное значение функции h(x) существует и равно b. Доказательство: Выберем из - окрестности точки x0 произвольную последовательность {Xn} сходящуюся к X0. Тогда по определению последовательности {f(Xn)},{g(Xn)} являются сходящимися к числу b. Кроме этого для элементов последовательностей {f(Xn)},{g(Xn)},{h(Xn)}, выполняются неравенства: тогда в соответствии с теоремой (14) (о двух миллиционерах)последовательность {h(Xn)} является к тому же числу b. Лемма доказана.

Теорема 17(Первый замечательный предел): Предельное значение функции в точке x=0 существует и равно единице, т.е. . Доказательство: Используем следующее построение: ; 0< x< ; см. рисунок в лекции (круг): MN = ; , 0< sinx , sinx, , . Тогда в соответствии с Леммой (2) предельное значение функции существует и равно 1.

Теорема 18.(Второй замечательный предел): Предельное значение функции при x существует и равно e, т.е. . Доказательство: Выберем произвольную бесконечно большую последовательность {Xn}. Случай, когда мы уже рассматривали. Рассмотрим теперь случай, когда не целое. Обозначим целую часть через , т.е. , тогда выполняются очевидные неравенства: ; ; ; =e; = = e.Тогда в соответствии с теоремой(14) последовательность { } является сходящейся (при ). Замечание 1: Предельное значение функции , при x также равно e (x=). Замечание 2: Справедлива и следующая запись второго замечательного предела: = e.

Предельные значения некоторых функций. ; ; ; ;;;

Формулы эквивалентов. ; tg xx; arcsin xx; arctg xx; cos x; ln(1+x);; 1+x; sh x.

Предельные значения выражений вида . Воспользуемся представлением через экспоненту . С помощью этого выражения можно раскрыть неопределенности . Рассмотрим выражение при . . Неопределенности вида , если сделать замену. U= V=ln(u(x)).

Непрерывность функции, непрерывность справа и слева (определения). Определение: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x= , если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению функции в точке . Определение: Функция y=f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x= , если предельное значение этой функции справа (слева) в точке существует и равно частному значению функции в точке .

Точки разрыва функции (определение, классификация, примеры). Определение: В точке, в которой не выполняется свойство непрерывности, называется точками разрыва функции. (Например, функция y=sgn(x) имеет разрыв в точке x=0). Классификация точек разрыва: рассмотрим вначале внутренние точки разрыва функции. 1 тип - Устранимый разрыв: Точка называется точкой разрыва функции y=f(x), если в этой точке существует конечное предельное значение функции f(x), но функция в этой точке либо неопределена, либо ее частное значение f() не совпадает с предельным значением f(x) в точке (. (Например, f(x)= в точке =0). 2 тип – Разрыв первого рода (скачок): Точка называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если функция f(x) имеет в точке конечное, но не равное друг другу левое и правое предельное значение (). (Например, f(x)=sgn(x) в точке =0, 3 тип – Разрыв второго рода: Точка чкой разрыва второго рода функции y=f(x), если хотя бы одно одностороннее предельное значение функции в равно или не существует. (Например, f(x)=tg x в точке x=. Для граничных точек области определения имеют смысл точки разрыва второго рода и устранимого разрыва.

Теорема 19: Пусть фунции f(x) и g(x) заданы на одном и том же множестве и непрерывны в точке x= . Тогда функции f(x)g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (при g(x)0) также непрерывна в точке x=. Доказательства: По определению непрерывности функции f(x) и g(x) имеют предельное значение в точке . Тогда по теореме 16 (о функциях, имеющих предельное значение) и функции f(x)g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) также имеют предельное значение в точке . При этом выполняется Ч.т.д.

Определение предельного значения и непрерывности на языке . Определение: Число b называется предельным значением функции f(), если для любого найдется число такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке , если для любого найдется число такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Сложная функция и ее непрерывность (определение)Определение: Пусть функция x= задана на множестве представляет собой множество значений этой функции. Пусть кроме того на множестве задана функция y=f(x). Тогда считается, что на множестве {t} задана сложная функция y=f((t))=F(t) аргумента t.

Теорема 20: Пусть функция x=, заданная на множестве и имеющая область значений , непрерывна в точке . Пусть кроме того функция y=f(x), заданная на множестве непрерывна в точке =. Тогда сложная функция непрерывна в точке Доказательства: Выберем произвольную последовательность для n, сходящихся к точке . Тогда, в соответствии с определением, последовательность функции сходится к =. В свою очередь в силу непрерывности функции y=f(x) в точке последовательность функций должна сходиться к f(), то есть = f() = f()=F(). Так как последовательность выбрана произвольно, то это обозначает непрерывность сложной функции F(x) в точке .

Монотонные функции (определение, примеры). Определение: Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве , если для любой пары чисел (из этого множества и удовлетворяющие неравенству ) выполняется неравенство f()< f() (f()>f()). Вместе неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными. Примеры: y=x возрастающая на , y=x sgn (x) убывает на и возрастает на .

Лемма 3: Для того, чтобы строго монотонная на сегменте [a;b] функция y=f(x) была непрерывная, необходимо и достаточно, чтобы любое число γ, заключенное между α=f(a) и β=f(b) было значением функции (без доказательств). Следствие: Пусть функция y=f(x) строго монотонна и непрерывна на сегменте[a;b] и множество значений функции есть сегмент [α;β] (или [β; α]), где α=f(a) и β=f(b). Тогда на сегменте [α;β] (или [β; α]) определяется строго монотонная и непрерывная обратная функция x=(y).

Обратные функции для некоторых элементарных функций. Показательная функция: ; ; x; y. Синус: y=sin x; рассмотрим главное значение для ; x=arcsin y; для x x=Arcsin y =+. Косинус: y=cos x; рассмотрим главное значение для ; x=arccos y; для x x=Arccos y = arccos y +2. Тангенс: y=tg x; рассмотрим главное значение для ; x=arctg y; для x x=Arctg y =arctg y+. Котангенс: y=ctg x; рассмотрим главное значение для ; x=arcctg y; для x x=Arcctg y = arcctg y +2.

Понятие подпоследовательности (определение, свойство, примеры). Определение: Пусть некоторая числовая последовательность. Выберем из этой последовательности бесконечное множество чисел ,,…,,… где Выбранное множество { называется подпоследвательностью последовательности . Пример: =1,1/2,1/3,…1/n; {1/2,1/4,1/6,…1/2n подпоследовательность исходной последовательности Свойство: каждая подпоследовательность сходящейся к a последовательности сходится к этому же числу a. |-a|<

Предельные точки последовательности (1, 2 определение)Определение 1: Точка x числовой оси называется предельной точкой последовательности , если в любой окрестности й точки содержится бесконечно много элементов этой последовательности . Определение 2: Точка x числовой оси называется предельной точкой последовательности , если из этой последовательности можно выбрать последовательность, которая сходится к x

Лемма 4: Пусть точка x – предельная точка последовательности . Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к числу x. Доказательства: Выберем следующее множество значений : , ,…, . Так как по условию леммы x – предельная точка последовательности , то в пределах любой -окрестности содержится бесконечно много элементов . Выберем в пределах окрестности x с не который элемент исходной последовательности. В -окрестности с выберем (, и т.д. В -окрестности свыберем . Набор этих элементов будет составлять некоторую подпоследовательность {. . Поскольку , то x является предельной последовательностью {. Ч.т.д..

Лемма 5: Любая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку. Доказательства: пусть сходится к числу a, точка по определению является предельной точкой последовательности. Действительно, для сходящейся последовательности для любого ; ; . Таким образом, число a является предельной точкой . Предположим, что существует еще одна предельная точка b, тогда в соответствии с леммой 4 из можно выбрать подпоследовательность {, сходящуюся к b. В соответствии со свойствами подпоследовательности любая подпоследовательность сходящейся к a последовательности сходится к a. Следовательно, a=b и последовательность имеет только одну предельную точку. Ч.т.д.

Верхний и нижний пределы последовательности (определение). Определение: наибольшее (наименьшее ) предельное значение последовательности называется верхним (нижним) пределом этой последовательности.

Теорема 21 о вложенных, стягивающихся отрезках. Определение: Пусть , ,…, бесконечные множества отрезков, каждый из которых, начиная со второго, содержится в предыдущем. И пусть при . Тогда существует единственная точка c, принадлежащая сразу всем отрезкам. Доказательства: Докажем, что может существовать только одна точка, принадлежащая всем отрезкам. Предположим, что существует еще одна точка d, принадлежащая всем отрезкам. Тогда и весь отрезок cd принадлежит отрезкам и выполняется . Но это противоречит => существует только одна точка. Нетрудно увидеть, что является неубывающей и ограниченной сверху, хотя бы числом . В свою очередь последовательность {} является невозрастающей и ограниченной сверху. Тогда по теореме о сходимости монотонной последовательности и , и {} сходятся. Более того, их пределы одинаковы. . При этом с является точкой верхней (нижней) гранью последовательности (. ,ч.т.д.

Теорема 22 (Больцано-Вейерштрасса). Теорема: Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Доказательства: Так как последовательность . Получим подпоследовательность следующим образом. Разобьем на две части. Тогда в одной из половинок (пусть это будет ) содержится . Выберем некоторый элемент . Далее разделим на две половинки. Пусть в полученном отрезке содержится бесконечно много элементов . Выберем некоторый элемент .и т.д. Получим последовательность , где . Множество построенных отрезков – это множество вложенных стягивающихся (=). Тогда . Тогда по теореме о двух милиционерах последовательность сходится к числу c.



Страницы: 1 | 2 | Одной страницей


See also:
Для студента
Похожие записи

Комментарии закрыты.