labor3

20 Февраль 2014 →

Министерство образования и науки Российской Федерации

Научный Исследовательский Ядерный Университет

«МИФИ»

Физико-технический факультет (Ф)

Лабораторная работа №3

«Исследование погрешностей числового решения ОДУ»

Выполнила:

Литвинов Дмитрий

Группа Ф05-13Б

Проверил:

Меринов И.Г.

Москва, 2013г.

Цель работы

Знакомство с видами погрешностей численного решения и способами их определения.

Теоретическая часть

В лабораторной работе исследовались следующие разностные схемы:

1) Явная схема Эйлера (ЯЭ)

2) Модифицированная схема Эйлера(МЭ)

3) Исправленная схема Эйлера (ИЭ)

4) Схема Рунге-Кутта 4-го порядка (РК4)

Явная схема Эйлера. Схема Эйлера является простейшей одношаговой разностной схемой. В ней для расчета интеграла используется только значение функции f(t, U) в начале отрезка [:

После подстановки получим разностную схему Эйлера:

Имеет первый порядок аппроксимации.

Модифицированный метод Эйлера. Для расчета интеграла также можно использовать метод прямоугольников. Получим разностную схему модифицированного метода эйлера:

Схема имеет второй порядок аппроксимации.

Исправленный метод Эйлера. Точность расчета интеграла можно повысить, добавив ещё одну расчетную точку. Сначала получим с помощью схемы Эйлера приближенное значение решения в конечной точке рассматриваемого отрезка. Используя это значение, получим приближенное значение функции в конце отрезка. Приближенное значение интеграла получается по формуле трапеций:

=

0.5

Получим разностную схему исправленного метода Эйлера:

0.5

Схема имеет второй порядок аппроксимации.

Метод Рунге-Кутта. В общем случае интеграл определяется с помощью n точек на интервале [. Наиболее широко используется схема с 4-мя точками, в которой расчет интеграла производится по формуле Симпсона:

где , ,

Эта схема имеет четвертый порядок аппроксимации.

Все исследуемые разностные схемы – одношаговые.

Определение фактической погрешности.

Истинная погрешность определяется по формуле

, где U – численное решение, а Т – аналитическое

Определение локальной погрешности.

Для вычисления локальной погрешности на отрезке , величина Ui+1 определяется по одной и той же разностной схеме с шагом ∆t1 и шагом ∆t2=∆t1/2. Тем самым, для оценки локальной погрешности при меньшем шаге можно использовать формулу

Здесь p- порядок аппроксимации.

Оценка полной погрешности.

Оценку полной погрешности в точке ti+1 можно получить из сравнения двух решений и , полученных во всей области [0,ti+1] с постоянными шагами ∆t’ и ∆t’’ (∆t’>∆t’’):

Задание

, T(0)=10000, m=0.005

метод

t,c

t

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

ЯЭ

50

10000

7250

5100

3670

2670

1920,5

1423,6

1110,8

853,26

703,54

563,14

100

10000

4250

1870

870

465,8

312,5

МЭ

50

10000

7750

5720

4317

3220,6

2520,6

1920,3

1420,5

1252,6

917,05

847,03

100

10000

6050

3550,8

2130,4

1423,9

953,67

ИЭ

50

10000

7750

5720

4317

3220,6

2520,6

1920,3

1420,5

1252,6

917,05

847,03

100

10000

6050

3550,8

2130,4

1423,6

953,67

РК4

50

10000

7756,4

5750,5

4230

3225,7

2480,1

1870,7

1465,8

1220,7

970,85

820,93

100

10000

5762

3235,9

1876,2

1231,8

822,48

Таблица 1 (численные решения при различных шагах)

Выбирая из Таблицы 1, полученное с шагом ∆t=50, значение температуры в качестве начального, выполнили один шаг ∆t=100. Получили:

Таблица 2

t, с

100

150

200

250

300

350

400

450

500

ЯЭ

4250

3082

2230

1644

1225,4

986,5

800,3

690,7

570,2

МЭ

6050

4450,3

3242,7



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Следующая → | Последняя | Одной страницей


See also:
Для студента
Похожие записи

Комментарии закрыты.