4Интегральный признак сходимости рядов

20 Февраль 2014 →

Интегральный признак Коши́-Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы

Пусть для функции f(x) выполняется:

(функция принимает неотрицательные значения)

(функция монотонно убывает)

(соответствие функции ряду)

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Набросок доказательства

Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке

Площадь большей фигуры равна

Площадь меньшей фигуры равна

Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна

Получаем

Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

Примеры

расходится так как .

сходится так как .

Оценка остатка ряда

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

с помощью несложных преобразований получаем:

.


See also:
Для студента
Похожие записи

Комментарии закрыты.