3Признаки сравнения рядов

20 Февраль 2014 →

   Сходимость рядов. Признаки сравнения

Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Признаки сравнения рядов

Даны два ряда Предельный признак сравнения рядови Обобщенный признак сравнения рядов− такие, что Предельный признак сравнения рядовдля всех n. Тогда справедливы следующие признаки:

 Если Обобщенный признак сравнения рядовсходится, то Предельный признак сравнения рядовтакже сходится;

 Если Обобщенный признак сравнения рядоврасходится, то Предельный признак сравнения рядовтакже расходится.

Предельные признаки сравнения рядов

Пусть даны два ряда Обобщенный признак сравнения рядови Предельный признак сравнения рядов, у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:

Если Обобщенный признак сравнения рядов, то оба ряда Предельный признак сравнения рядови Обобщенный признак сравнения рядовлибо сходятся, либо расходятся;

Если Предельный признак сравнения рядов, то ряд Обобщенный признак сравнения рядовсходится, если сходится ряд Предельный признак сравнения рядов;

Если Обобщенный признак сравнения рядов, то ряд Предельный признак сравнения рядоврасходится, если расходится ряд Обобщенный признак сравнения рядов.

Так называемый обобщенный гармонический ряд Предельный признак сравнения рядовсходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1.

   Пример 1

Определить, сходится или расходится ряд Обобщенный признак сравнения рядов.

Решение.

Легко видеть, что Предельный признак сравнения рядовдля n > 1. Применяя далее признак сравнения, находим

      Обобщенный признак сравнения рядов

Поскольку ряд Предельный признак сравнения рядовсходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени p = 2, то исходный ряд также сходится.

   Пример 2

Определить, сходится или расходится ряд Обобщенный признак сравнения рядов.

Решение.

Воспользуемся признаком сравнения. Заметим, что Предельный признак сравнения рядовдля всех натуральных n. Ряд Обобщенный признак сравнения рядовявляется обобщенным гармоническим рядом с p = 2 > 1 и, следовательно, сходится. Таким образом, исходный ряд сходится по признаку сравнения.

   Пример 3

Исследовать сходимость ряда Предельный признак сравнения рядов.

Решение.

Можно заметить, что Обобщенный признак сравнения рядовдля всех натуральных n. Тогда

      Предельный признак сравнения рядов

Поскольку Обобщенный признак сравнения рядов− гармонический ряд, то он расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится по признаку сравнения.

   Пример 4

Определить, сходится или расходится ряд Предельный признак сравнения рядов.

Решение.

Воспользуемся предельным признаком сравнения. Будем сравнивать заданный ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом Обобщенный признак сравнения рядов. Тогда

      Предельный признак сравнения рядов

Разделим числитель и знаменатель на n3:

      Обобщенный признак сравнения рядов

Следовательно, данный ряд сходится в соответствии с предельным признаком сравнения.

   Пример 5

Исследовать ряд Предельный признак сравнения рядовна сходимость.

Решение.

Будем сравнивать наш ряд со сходящимся рядом Обобщенный признак сравнения рядов. Получаем

      Предельный признак сравнения рядов

Следовательно данный ряд сходится согласно предельному признаку сравнения.

   Пример 6

Исследовать ряд Обобщенный признак сравнения рядовна сходимость.

Решение.

Применяем предельный признак сравнения. Сравним Предельный признак сравнения рядовс расходящимся гармоническим рядом Обобщенный признак сравнения рядов. Вычислим предел отношения соответствующих членов обоих рядов:

      Предельный признак сравнения рядов

Таким образом, исходный ряд расходится.

   Пример 7

Определить, сходится или расходится ряд

      Обобщенный признак сравнения рядов

Решение.

Используем предельный признак сравнения. Будем сравнивать со сходящимся обобщенным гармоническим рядом Предельный признак сравнения рядов. Находим значение предела:

      Обобщенный признак сравнения рядов

Следовательно, ряд сходится.


See also:
Для студента
Похожие записи

Комментарии закрыты.